Question

定义在R上的函数f(x)满足：f(x+3)+f(x)=0,且函数f(x-3/2)为奇函数。 证明：函数f(x)的图像关于y轴对称。

Answer 1

证明：
因为f(x-3/2)为奇函数，所以有A: f(x-3/2) = -f(-x+3/2)
又因为f(x+3) + f(x) = 0，所以有B: f(x + 3/2) + f(x-3/2) = 0 (把x+3/2看成式子f(x+3) + f(x) = 0中的x)
根据A式和B式有：f(x + 3/2) - f(-x+3/2) = 0
所以有f(x + 3/2) = f(-x+3/2) ，将其表示为f((x-3/2) + 3) = f(-(x-3/2))
令p = x - 3/2,有f(p+3) = f(-p)
根据A式有f(p+3) + f(p) = 0
有f(-p) + f(p) = 0
显然p = x - 3/2可以取x轴上任意值,也就是说对于x轴上任意的坐标p，
都有f(p) + f(-p) = 0成立，所以函数f(x)的图像关于y轴对称
得证

Answer 2

因为1+1=2所以函数f(x)的图像关于y轴对称。

Answer 3

只需证明f(x)为偶函数
依题有： f(x-3/2)=-f(-x-3/2) 即f(x-3/2)+f(-x-3/2)=0 令x=x+3/2 得f(x)+f(-x-3）=0
又由 f(x+3)+f(x)=0 得f(x+3)=f(-x-3)
令x=x-3 即 f(x)=f(-x) 所以 f(x) 为偶函数，关于y轴对称