Question

数学题：三角形ABC中，角A，B，C对边的边长分别是a ，b ，c，且a(cosB+cosC)=b+c.

(1)求证A=90度 (2)若三角形ABC外接圆半径为1，求三角形ABC周长的取值范围

Answer 1

如图，AD为X，AE为Y。abc

（1） 若∠A不为90度。

      a(cosB+cosC)=b+c

          acosB+acosC=b+c

          即BD+EC=b+c

          即c+x+y+b=b+c

          即x+y=0

          ∵X≥0

             Y≥0

          ∴X=Y=0

          ∴∠A=90°

（2） a=2R=2

           b²+c²=4

           最小c=0，b=2，周长=2

      最大b=c=根号2

          ∴2＜周长＜2根号2

          

          根号打不出不要介意啊~~~

Answer 2

（1）
∵a/sinA=b/sinB=C/sinC=2R(R为三角形外接圆半径）
所以原式左右各除以2R后，可化为：
sinA(cosB+cosC)=sinB+sinC；而A+B+C=180°。即sinA=sin(B+C)
∴[sin(B+C)]*[cosB+cosC]=sinB+sinC
∴[sinBcosC+sinCcosB]*[cosB+cosC]=sinB+sinC
∴sinBcosBcosC+sinBcos²C+sinCcos²B+sinCcosCcosB=sinB+sinC
∴sinB(cos²C-1+cosBcosC)=sinC(1-cos²B-cosBcosC)
∴sinB(cosBcosC-sin²C)=sinC(sin²B-cosBcosC)
∴(sinB+sinC)(cosB+cosC)=sinCsin²B+sinBsin²C
∴(sinB+sinC)cosBcosC=sinBsinC(sinB+sinC)
∴cosBcosC-sinBsinC=0
∴cos(B+C)=0,即B+C=90°
∴A=90°
（2）
∵外接圆半径R=1
∴a=2RsinA=2,b²+c²=a²=4
∴(b+c)²≤b²+c²+4=8
∴b+c≤2*根号2
而b+c≥2*根号bc
∴b+c＞2
∴周长=（a+b+c）∈（4,2+2*根号2]

Answer 3

！！！！！！！！自己好好考、、、

追问

帮帮忙，答对了追加分数！

Answer 4

对不起