Question

如图，已知P为角AOB的边OA上的一点，以P为顶点的角MPN的两边分别交射线OB于M，N两点

如图，已知P为角AOB的边OA上的一点，以P为顶点的角MPN的两边分别交射线OB于M，N两点，且角MPN=角AOB=β（β为锐角）。当角MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（角MPN保持不变）时，M,N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平移，设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S。
（1）求证：△OPN∽△PMN；
（2）写出y与x之间的关系式;
（3）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围。

Answer 1

1）△OPN∽△PMN．
证明：在△OPN和△PMN中，
∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，
∴△OPN∽△PMN；

（2）∵MN=ON-OM=y-x，
∵△OPN∽△PMN，
∴PN
MN
=ON
PN
，
∴PN2=ON•MN=y（y-x）=y2-xy．
过P点作PD⊥OB，垂足为D．
在Rt△OPD中，
OD=OP•cos60°=2×1
2
=1，PD=POsin60°= 3
，
∴DN=ON-OD=y-1．
在Rt△PND中，
PN2=PD2+DN2=（ 3
）2+（y-1）2=y2-2y+4，
∴y2-xy=y2-2y+4，
即y=4
2-x
；

（3）在△OPM中，OM边上的高PD为 3
，
∴S=1
2
•OM•PD=1
2
•x• 3
= 3

2
x，
∵y＞0，
∴2-x＞0，即x＜2．
又∵x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜2．
∵S是x的正比例函数，且比例系数 3

2
＞0，
∴0＜S＜根号 3

2
×2，
即0＜S＜根号 3

Answer 2

(1)∵∠PON=∠MPN=β,∠PNO=∠MNP(同一个角) ∴△OPN∽△PMN。
(2)y=x+MN=x+PM*PN/OP
(3)S=½OP*X*sinβ

Answer 3

1、当OM边与PO处在重合的位置，即旋转开始时：
根据已知条件，可得：∠MPN=∠AOB=60°，即△PON为等边三角形。因为OP=2，则ON=2.

2、平移之后：
根据已知条件，可得：∠AOB=60°，∠OPM=30°，∠PMO=90°，则△POM为直角三角形。因为OP=2，则OM=x=1，PM=根号3；
又因为∠PMO=∠PMN=90°，∠MPN=60°，所以△PMN也是直角三角形。因为PM=根号3，所以MN=3，则ON=y=OM+MN=1+3=4，我们记为ON'=4

3、N点的移动距离即为：

ON'-ON=4-2=2

Answer 4

过程