Question

已知a，b为非零向量，m=a+tb，若|a|=1，b=|2|，当且仅当t=0.25时，|m|取得最小值，则向量a，b的夹角为？

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Answer 1

向量a, b为相反向量，夹角为180度 详解如下：

︱m︱=√m²=√(a+tb)²=√[a² + abt+(bt)²]
=√[|a|² + t |a|*|b|*cos<a, b> +(t|b|)²]
=√(4t² + 2t*cos<a, b> +1)
若设f(t)=4t² + 2t*cos<a, b> +1, t=0.25时，|m|取得最小值
即，此时f(t)有最小值，根据一元二次函数的图像及性质可知，
当二次项系数a>0时，在对称轴处x=-b/2a时，函数方取得最小值，
故可得，t=0.25=-(2cos<a, b>)/(2*4)，解得cos<a, b>=-1
即向量a, b为相反向量，夹角为180度。

Answer 2

设y=m*m=|a|*|a|+2tab+t*t*|b|*|b|=2t|a||b|cos@+4t*t+1
dy/dt=2|a||b|cos@+8t=0
t=-|a||b|cos@/4=1/4
cos@=-1/2
@=2π/3

追问

dy/dt=2|a||b|cos@+8t=0
为何？

追答

把y看成是一个二次函数求导，当dy/dt为0即2|a||b|cos@+8t=0
时y可以取得最小值，即|m|同时取得最小值。（因为|m|为正值，所以y和|m|同时取得最小值）。此时求得的t=-|a||b|cos@/4，又由题意知此时的t=1/4，然后两个联立即可求得cos@=-1/2，@=2π/3
求y的最小值时也可以不用求导的方法，用一元二次函数的图像性质也可以求得，即当t=-b/2a时，y取得最小值
祝你高考顺利~~~

Answer 3

tsq0525 正解

Answer 4

余弦定理

Answer 5

余弦定理