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Answer 1

天津市数学2005-2009中考第26题解析
1．对“ 是一元二次方程 根”的理解：该方程有实数根，即⊿≥0；然后应用第2类的思路。

（2005年26题，本小题10分）
已知二次函数
（Ⅰ）若 ，且二次函数的图象经过点（ ），求 的值；
（Ⅱ）若 且二次函数的图象经过点（ ， ），求证： ；
（Ⅲ）若 且二次函数的图象经过点（ ， ），试问当自变量 时，二次函数 所对应的函数值 是否大于0？并证明你的结论。
解：（Ⅰ）把 及（ ）代入，得 =1。
（Ⅱ）把 及（ ， ）代入，并整理得
于是 为方程 的根，
∴⊿= ，
又∵
∴ 即 ，有 ，
∴ 。
（Ⅲ）不同于标答的解法
∵二次函数的图象经过点（ ， ）
∴ ，
∴ 为方程 的根，
∴⊿= ，
又∵
∴⊿=
又 知 ,
∴
∴

∵ 可知图象过(1,0)点，
又由a、b的符号，可知抛物线的对称轴 不在 轴右侧，
故(1,0)点是图象与 轴的右交点
设图象与 轴的左交点为 ，则 ，

∴如右图所示
∵图象经过点（ ， ）且 ，
∴点（ ， ）必然在X轴下方的图象上，
∴当 时
∴当自变量 时，二次函数 所对应的函数值 是否大于0。
说明：适时画出图象草图更能说明问题，体现数形结合，并由上述两道题充分体现二次函数的灵魂——对称轴的作用。

2．韦达定理与不等式变形的综合应用。
（2007年26题，本小题10分） .
已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，且满足 ， 。
（1）试证明： ；
（2）证明： ；
（3）对于二次函数 ，若自变量取值为 ，其对应的函数值为 ，则当 时，试比较 与 的大小。
解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式
即
∵ 是该方程的两个实数根
∴ ，
而 ∴
（2）

∵ ∴
于是 ，即
∴
第（2）问还可用 >1推出结论。
（3）（求差法比大小，并通过代换变不同级别量为同一级别量再求差）
∵ ，
∴
（7分）
∵ ∴
又∵ ∴ ，
∵ ∴
于是 又∵ ∴
由于 ，
∴ ，即
∴ 当 时，有 .
说明：第三问证 还有其他方法，但都要充分应用已知条件及不等式性质及不等式放缩原理进行变化整理。
3．充分灵活应用不等式的性质和变形，最终通过分析二次函数对称轴的取值范围解决问题。
（2008年26题，本小题10分）
已知抛物线 ，
（Ⅰ）若 ， ，求该抛物线与 轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若 ，且当 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，求 的取值范围；
（Ⅲ）若 ，且 时，对应的 ； 时，对应的 ，试判断当 时，抛物线与 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

解（Ⅰ）当 ， 时，抛物线为 ，
方程 的两个根为 ， ．
∴该抛物线与 轴公共点的坐标是 和 ．
（Ⅱ）当 时，抛物线为 ，且与 轴有公共点．
对于方程 ，判别式 ≥0，有 ≤ ．
①当 时，由方程 ，解得 ．
此时抛物线为 与 轴只有一个公共点 ．
②当 时，
时， ，
时， ．
由已知 时，该抛物线与 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为 ，
应有 即
解得 ．
综上， 或 ．
第（Ⅱ）问解法二（图象法）

或

； 或
综上， 或 ．
（Ⅲ）对于二次函数 ，
由已知 时， ； 时， ，
又 ，∴ ．
于是 ．而 ，∴ ，即 ．
∴ ．
∵关于 的一元二次方程 的判别式
，
∴抛物线 与 轴有两个公共点，顶点在 轴下方．
又该抛物线的对称轴 ，
由 ， ，
又 ，
得 ，
∴ ．
又由已知 时， ； 时， ，观察图象，
可知在 范围内，该抛物线与 轴有两个公共点．
说明：适时画出图象草图更能说明问题，体现数形结合。

4．体现方程与函数的内在联系，掌握点的坐标与线段之间的转化。
（2009年26题，本小题10分）
已知函数 为方程 的两个根，点 在函数 的图象上．
（Ⅰ）若 ，求函数 的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数 与 的图象的两个交点为 ，当 的面积为 时，求 的值；
（Ⅲ）若 ，当 时，试确定 三者之间的大小关系，并说明理由。
解（Ⅰ） ，
.
将 分别代入 ，得
，
解得 .
函数 的解析式为 ．
另解第（Ⅰ）问：比较系数法
∵ ＝ ， ＝ 是方程的两个根，
∴ ，即 ． …… ①
∵ ， ∴ ． …… ②
方程①，②相同，比较系数得 ，即 ， ．
∴
另解第（Ⅰ）问：韦达定理法
∵ + = =
∴ 、 是一元二次方程 的两个根
又 、 是一元二次方程 的两个根
∴比较系数得 ，即 ， ．
∴

（Ⅱ）由已知，得 ，设 的高为 ，
，即 .
根据题意， ，
由 ，得 .
当 时，解得 ；
当 时，解得 .
的值为
另解第（Ⅱ）问：
方法1：
过点M作x轴的垂线，与 交于点N，
， ，
解得 ， ， ．

方法2：
当 时，S△ABM＝S△ABC－S△ADM－S梯形MDCB，
即 ，解得 ．
同理，当 时，
，解得 ．
当 时，
即 ，解得 ．

方法3：
∵ ， ， ∴ ．
设在△ABM中以AB为底的高为h，则h＝ ，即将直线 向上或向下平移 个单位，得 ， ．
解 与 的交点，得 ，解 与 的交点，得 ， ．
注：第二问的每一种解法都充分利用了数形结合数学思想，特别是利用直线y=x的本质特征，使T、t转化为统一级别的量再运算。

（Ⅲ）由已知，得
.
，
，
，化简得 .
，得 ，　　 .
有 .
又 ， ， ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .

第（Ⅲ）问：图象分析法
①当对称轴在y轴左侧时，在0＜x＜1，y随x的增大而增大，
②当对称轴在y轴右侧时，
∵ ， 是方程 的两个根，
∴ ∴ ．
∵0＜ ＜1，0＜ ＜1， ∴c＜ ．
对于函数 ，对称轴为 ，
∵ ＞ －1， ∴2 ＞ ＋ －1．
∴ ＜ ，即对称轴在 左侧．（如下图）
另：对于函数 ，对称轴为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴对称轴 ．

综上，当0＜t≤ 时，T≤ ＜ ；
当 ＜t≤ 时， ＜T≤ ；
当 ＜t＜1时， ＜ ＜T．

Answer 2

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Answer 3

就是二次函数结合三角形的题目吧
我有一些，是平常收集的，有二十几道
留个邮箱吧，我发给你。