Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=1,BC=2,∠ABC的平分线交AD于点F,E为BC的中点，连结EF，

如图，在矩形ABCD中，已知AB=1,BC=2,∠ABC的平分线交AD于点F,E为BC的中点，连结EF，
（1）求BF的长度（答案是根号2）
（2）求证：四边形ABEF是正方形
（3）设点P是线段BF上的一个动点，点N是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P使j∠APN=90°，请写出BF的长度
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1,2两小题不要做

Answer 1

(1) 因为B为90度，则角ABF为45度，所以三角形ABF为等腰直角三角形
所以AF=AB=1，BF=V2
（2）因为AF=AB=1=1/2AD
且E是BC中点，所以BE=1=AB=AF=EF，
可得ABEF为菱形
又知角A，角B是90度
所以四边形ABEF是正方形
（3）BF不是已经求出来了吗？

追问

设点P是线段BF上的一个动点，点N是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P使j∠APN=90°，请写出BP的长度

追答

v2/4 4分之根号2
因为N为对称中心,所以N为EF中点,EN=1/2
过P点做PG垂直于AB,做PS垂直于BC,
因为角ABF=角EBF
所以PG=PS=x
在直角三角形AFN中,可求得AN的平方为5/4
在直角三角形APG中,AP的平方=(1-x)平方+x平方
过N做NR垂直于EF,则在直角三角形NRP中,
PR=1-x NR=1/2-x
PN平方=(1-x)平方+(1/2-x)平方
因为角APN=90度
所以AN平方=AP平方+PN平方
即:5/4=(1-x)平方+x平方+(1-x)平方+(1/2-x)平方
解得x=1 或x=1/4, 因为x<1,所以x=1/4
BP平方=BG平方+BS平方=1/4平方+1/4平方
BP=V2/4 4分之根号2

Answer 2

(2)因为∠ABF=∠FBE,AB=BE=1，BF=BF
所以三角形ABF与三角形EBF全等
所以∠ABF=∠FBE=45°
所以∠ABE=90°
因为∠A=∠BEF=90°
所以四边形ABEF是矩形
又因为AB=BE
所以四边形ABEF是正方形
（3）存在