Question

已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE

已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点。
(1)当点B、A、D在一条直线上，试说明：BE=CD；
(2)将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图二
所示，请判断AM=AN是否成立
(3)在旋转的过程中，设直线BE与CD相交与点P，当90°＜角BAC＜180°时，直接写出角CPB与角MAN之间的数量关系

Answer 1

分析：（1）因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAE=∠CAD，又因为AB=AC，AD=AE，利用SAS可证出△BAE≌△CAD，可知BE、CD是对应边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证△AMN是等腰三角形．
（2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变．
（3）先证出△ABM≌△ACN（SAS），可得出∠CAN=∠BAM，所以∠BAC=∠MAN（等角加等角和相等），又∵∠BAC=∠DAE，所以∠MAN=∠DAE=∠BAC，所以△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形，所以∠PBD=∠AMN，所以△PBD∽△AMN（两个角对应相等，两三角形相似）． 证明：（1）①∵∠BAC=∠DAE∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
②由△ABE≌△ACD，得
∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵M、N分别是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
又∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．

（2）（1）中的两个结论仍然成立．

（3）在图②中正确画出线段PD，
由（1）同理可证△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．
∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．
∴∠PBD=∠AMN，
∴△PBD∽△AMN． 点评本题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形一个顶角相等，则底角相等的性质，还有相似三角形的判定（两个角对应相等的两个三角形相似）．

Answer 2

(1)∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE=∠CAD，又AB=AC,AD=AE，则△BAE和△CAD全等
即BE=CD
(2)和上题一样，证出△BAE和△CAD全等之后，有∠ABM=∠ACN，M,N分别为BE,CD的中点，所以BM=CN，则△BAM和△CAN全等，即有AM=AN
(3)设BE与AC交于O，∠MAN =∠BAC=∠DAE（因为△BAE和△CAD全等，旋转△BAE到△CAD位置时，三个角的旋转度一样)。又∠ABO=∠ACP，∠AOB=∠COP，所以△BAO和△CPO相似，则∠CPB =∠CPO =∠BAO=∠BAC=∠MAN

Answer 3

(3)设BE与AC交于O，∠MAN =∠BAC=∠DAE（因为△BAE和△CAD全等，旋转△BAE到△CAD位置时，三个角的旋转度一样)。又∠ABO=∠ACP，∠AOB=∠COP，所以△BAO和△CPO相似，则∠CPB =∠CPO =∠BAO=∠BAC=∠MAN

Answer 4

∠BAC=∠DAE ∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE AB=AC,AD=AE △BAE=△CAD BE=CD

Answer 5

fgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgf