Question

已知函数f(x)=(x^2+a^2)∕x (a>0），如果函数f(x)在区间（0,2]上最小值为5，求a

Answer 1

f(x)=(x^2+a^2)∕x=x+a^2/x≥2√(x*a^2/x)=2a 因为x，a>0。再由f(x)的导函数1-a^2/x^2知 x=a时导数为0为最小值。 当a≤2时，x=a，f(x)=2a=5 a=2.5≥2不行 当a>2时 x=2取得最小值 即f(x)=2+a^2/2=5 a=√6

Answer 2

f(x)=(x^2+a^2)∕x 的导函数为f(x)=(2x-x^2-a^2)/x^2
令2x-x^2-a^2=0，X1=√(1-a^2),X2=-√(1-a^2),
(1)若a>1，则f(x)=(2x-x^2-a^2)/x^2恒小于0，
在区间（0,2]上单调减，此时X为2，代入f(x)=(2x-x^2-a^2)/x^2=5中求出a，且a要大于1，否则不成立。
（2）若a<1,则导函数f(x)=(2x-x^2-a^2)/x^2在负无穷到-√(1-a^2)上，√(1-a^2)到正无穷上很大于0，在-√(1-a^2)到√(1-a^2)之间小于0，所以f(x)=(x^2+a^2)∕x在负无穷到-√(1-a^2)上，√(1-a^2)到正无穷上单调增，在-√(1-a^2)到√(1-a^2)之间上单调减，因此√(1-a^2)要大于或等于0，此时得a要大于等于0小于等于1。再把X=√(1-a^2)代入f(x)=(x^2+a^2)∕x=5中，求出a，若a是大于等于0小于等于1的，就是答案

追问

令2x-x^2-a^2=0，X1=√(1-a^2),X2=-√(1-a^2),
似乎是x1=1+√(1-a^2),X2=1-√(1-a^2),吧？

追答

呃~·是的，x1=1+√(1-a^2),X2=1-√(1-a^2），后面得算法是一样的，……唉，人老了……