Question

初中几何，高手帮一下忙啊！

如图，PA=PB，PO⊥AB与AB交于Q，∠OPM=∠OPN，求证PM=PN。
谢谢帮帮忙啊。
谁能给出具体方法，或是证明这个命题错误也好。

Answer 1

延长PM和PN，过O作OG和OH分别垂直PM和PN的延长线，因为PO是角平分线，所以OG=OH，可得三角形OGP和OHP全等（HL),同时连接OM和ON，因为OM=ON，可得三角形OGM和OHN全等（HL),由上述全等分别得PG=PH，GM=HN，所以PG-GM=PH-HN，即PM=PN。
很多条件没用上去啊，看来一定是错的了，唉，还是看高手怎么解吧

Answer 2

po垂直AB AO=BO AOQ全等BOQ
所以角AOP等于角BOP，又PO=PO，AO=BO
PAO全等PBO
所以PA=PB,角APO=BPO
连接AM BN
因为∠OPM=∠OPN
所以角APM=BPN

...........证不出来了
你们老师有没有教你们圆外点与圆的连线什么的公式啊
我记得那个好像可以直接证的
抱歉啊

Answer 3

证明那个钝角，也是容易的。因为，角AOB小于等于180度，角APB是对应圆心角的二分之一，更是小于180度。那么三角形OPM与三角形OPN中的两个角分别小于90度。那剩下的那个角应该是钝角，没问题吧？

Answer 4

首先连接OM与ON在三角形OMP与ONP中OM=ON，OP=OP，角OPM等于角OPN，又因为M与N同时在优弧AB上，所以三角形OMP全等与三角形ONP（注意是同在优弧AB上，没此条件边边角不能证明三角形全等，故此句话极为重要！）所以PM=PN。
希望对你有帮助

Answer 5

因为Po=Po OM=ON 又∠OPM=∠OPN 当三角形为钝角三角形时边边角成立 所以三角形OPM与三角形OPN全等 所以PM=PN

追问

钝角三角形时成立我知道，但要经过特殊证明，否则还是错的！！你会证明吗？

追答

用高中方法瞬间可整出来

Answer 6

噢，等下。问你个问题先。
M、N、K在不在同一直线上？

追问

当然不在，那是圆周上3点