Question

数学数列问题 讲下解体过程！谢谢！

已知二次函数f(x)=(x+1)^2 /4 问 若f(x)大于等于mx-m恒成立，求m取值范围

第2问 求证当n大于等于3时，有5/3< 1/f(1）+1/f(2)+.....+1/f(n)< 25/9

Answer 1

第一问：
令g(x)=f(x)-(mx-m)
通分化简后有：
g(x)=(x^2+(2-4m)x+4m+1)/4
要使g(x)>=0，则其分子组成的方程x^2+(2-4m)x+4m+1=0的根判别式<=0，即
(2-4m)^2-4(4m+1)<=0
解得0<=m<=2

第二问：
大于这部分很简单，1/f(1）+1/f(2)+1/f(3)=61/36 > 5/3,后续的式子>0
说说小于这部分。
1/f(4）+1/f(5)+...+1/f(n)=4[1/(4+1)^2 + 1/(5+1)^2 +...+1/(n+1)^2]<4[1/(4*5)+1/(5*6)...+1/(n*(n+1))]=4[1/4-1/5+1/5-1/6+...+1/n-1/(n+1)]<4[1/4-1/(n+1)]<1
故原式< 61/36+1 =97/36<25/9

Answer 2

第一问：
令g(x)=f(x)-(mx-m)
通分化简后有：
g(x)=(x^2+(2-4m)x+4m+1)/4
要使g(x)>=0，则其分子组成的方程x^2+(2-4m)x+4m+1=0的根判别式<=0，即
(2-4m)^2-4(4m+1)<=0
解得0<=m<=2 ，1/f(1）+1/f(2)+1/f(3)=61/36 > 5/3,后续的式子>0
说说小于这部分。
1/f(4）+1/f(5)+...+1/f(n)=4[1/(4+1)^2 + 1/(5+1)^2 +...+1/(n+1)^2]<4[1/(4*5)+1/(5*6)...+1/(n*(n+1))]=4[1/4-1/5+1/5-1/6+...+1/n-1/(n+1)]<4[1/4-1/(n+1)]<1
故原式< 61/36+1 =97/36<25/9
谢谢，给分