Question

高一数学 必修5的作业本上基本不等式的几道题。 帮帮忙啊。

1.已知a,b属于正自然数，求证（1）、（a/根号b）+（b/根号a）≥（根号a）+（根号b）
（2）、(b^2/b)+(a^2/b)≥a+b
2.已知x属于（0，90°）．求函数(1+cos2x+8sinx^2)/(sin2x)的最小值
3.（1）已知0＜X＜4/3，求X(4-3X)的最大值。
(2) 点(x，y)在直线x+2y=3上移动，求2^x+4^y的最小值。
4.设a＞0，b＞0，a+b=1，求证：ab+1/ab≥4.25

要有过程啊 简单点没事，但是要有啊
拜托了。

Answer 1

1. (a/√b +b/√a)-√a-√b
=(a/√b -√b)+(b/√a -√a)
通分，得
=(a-b)/√b +(b-a)/√a
=(a-b)/√b -(a-b)/√a
=(a-b)[1/√b -1/√a]
=[(a-b)(√a -√b)]/√(ab) ≥0
所以,结论成立.
如果a、b都是正整数
b^2/a+a^2/b＝(a^3+b^3)/ab=(a+b)(a^2-ab+b^2)/ab
要比较b^2/a+a^2/b与a+b的大小
只需比较(a^2-ab+b^2)/ab跟1的关系
由a^2+b^2>=2ab可得：(a^2-ab+b^2)/ab>=(2ab-ab)/ab=1
所以b^2/a+a^2/b=(a+b)(a^2-ab+b^2)/ab>=a+b

2.
0<x<π/2，fx=(1+cos2x+8(sinx)^2)/sin2x吧？
如果是这样的话；
fx=(1+cos2x+8（sinx）)/sin2x=(2(cosx)^2+8(sinx)^2)/sin2x=(2+6(sinx)^2)/sin2x=1/sinxcosx+3tanx
∵0<x<π/2
∴1/sinxcosx>0,3tanx>0;
fx>=2√1/sinxcosx*3tanx=2√3/(cosx)^2当且仅当1/sinxcosx=3tanx成立，解得(sinx)^2=1/3
则fx>=3√2

3.1 4X-3X^2=-3(X-2/3)^2+4/3
X=2/3时F(x)最大 为4/3
3.2
x+2y=3
x=3-2y

2^x+4^y
=2^(3-2y)+2^(2y)
=2^3/2^(2y)+2^(2y)
=8/2^(2y)+2^(2y)
=(√8/2^y-2^y)^2+2√8
当√8/2^y-2^y=0时,2^x+4^y最小,最小值=2√8=4√2

自已验算遍！！

追问

那4.设a＞0，b＞0，a+b=1，求证：ab+1/ab≥4.25
这道题目怎么做啊？

追答

题好像有问题

追问

没有啊 题目就是这样的啊
设a＞0，b＞0，a+b=1，求证：ab+1/（ab）≥4.25

郁闷了。

Answer 2

1. (a/√b +b/√a)-√a-√b
=(a/√b -√b)+(b/√a -√a)
通分，得
=(a-b)/√b +(b-a)/√a
=(a-b)/√b -(a-b)/√a
=(a-b)[1/√b -1/√a]
=[(a-b)(√a -√b)]/√(ab) ≥0
所以,结论成立.
如果a、b都是正整数
b^2/a+a^2/b＝(a^3+b^3)/ab=(a+b)(a^2-ab+b^2)/ab
要比较b^2/a+a^2/b与a+b的大小
只需比较(a^2-ab+b^2)/ab跟1的关系
由a^2+b^2>=2ab可得：(a^2-ab+b^2)/ab>=(2ab-ab)/ab=1
所以b^2/a+a^2/b=(a+b)(a^2-ab+b^2)/ab>=a+b

2.
0<x<π/2，fx=(1+cos2x+8(sinx)^2)/sin2x吧？
如果是这样的话；
fx=(1+cos2x+8（sinx）)/sin2x=(2(cosx)^2+8(sinx)^2)/sin2x=(2+6(sinx)^2)/sin2x=1/sinxcosx+3tanx
∵0<x<π/2
∴1/sinxcosx>0,3tanx>0;
fx>=2√1/sinxcosx*3tanx=2√3/(cosx)^2当且仅当1/sinxcosx=3tanx成立，解得(sinx)^2=1/3
则fx>=3√2

3.1 4X-3X^2=-3(X-2/3)^2+4/3
X=2/3时F(x)最大 为4/3
3.2
x+2y=3
x=3-2y

2^x+4^y
=2^(3-2y)+2^(2y)
=2^3/2^(2y)+2^(2y)
=8/2^(2y)+2^(2y)
=(√8/2^y-2^y)^2+2√8
当√8/2^y-2^y=0时,2^x+4^y最小,最小值=2√8=4√2

Answer 3

（2）令|f|=|(b-根号2)/((a-根号2)|=|(1-根号2)/(1+a)|
由于a>0
|1+a|>|1-根号2|
所以|f|〈1
所以b比a更接近根号2

Answer 4

第2题，原式=（2cosx^2+8sinx^2)/(sin2x)=4tanx+1/tanx≥4（当tanx=2时取=）