Question

二项式系数 各项系数 这道题的区别？ 问题！

（5x-√x）^n的展开时的各项系数和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240,则展开式中x^3的系数为150
令x=1,代入（5x-√x）^n
得M=（5*1-√1）^n = 4^n
N= 2^n

4^n - 2^n = 240
n= 4

在（5x-√x）^4中,x^3 = x^2*(√x)^2 项是
C(4,2)[(5x)^2][(-√x)^2]
= 6*25*x^3
= 150 x^3
所以,展开式中x^3的系数为150 .

为什么N是2^n

Answer 1

二次项系数是指C(n,i)之和（i=0,1,2,3....n），令二项式为（1+1）^n,展开后每项为C（n，i）1^i*1^(n-i),即C（n，i），和为2^n.
各项系数：例如：C(4,2)[(5x)^2][(-√x)^2] =C（4,2）*25x^3
系数为C（4,2）*25
注意概念！！！