Question

已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点的直线l交抛物线于A,B两点,若∠AOB=2π/3,则直线L斜率为

已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点的直线l交抛物线于A,B两点,若∠AOB=2π/3,则直线L斜率为

Answer 1

解：直线和x轴垂直时，斜率是不存在的，因此，本题要分成两类讨论。
（1）当直线l的斜率不存在时，即l方程为：x=p/2时，可以证得，∠AOB=2π/3不成立
所以，假设不成立，即直线l的斜率k存在，即l与x轴不垂直。
（2）设直线l的斜率为k，则其方程为：y=k(x-p/2) [焦点为F(p/2, 0)]
把直线l的方程，和抛物线方程，联立化解（消去x，保留y）则可得，
y² - 2p/k y -p²=0 ……（1）
若设A、B两点的坐标分别为A((y1)²/2p, y1), B((y2)²/2p, y2)
则向量OA=((y1)²/2p, y1)，向量OB=((y2)²/2p, y2), 又∠AOB=2π/3
根据向量的数量积公式可得：OA*OB= = ︱OA︱*︱OB︱* cos<OA, OB>
即：((y1)²/2p, y1)*((y2)²/2p, y2)=√{[(y1)²/2p]² + (y1)²} *√{[(y2)²/2p]² + (y2)²} *(-1/2)
左右两边分别化解成关于“y1y2”、“y1+y2”的代数式可得：
(y1y2/2p)² + y1y2 = -1/2 * √{(y1y2/2p)^4 + (y1y2)² + (y1y2/2p)² [(y1+y2)² -2*y1y2]}
…………（2）
由函数图像的交点与方程组的解的关系可知，上方程的解，即为A、B两点的坐标的值
根据韦达定理，由(1)式可得，y1y2=-p² ……（3）；y1 + y2=2p/k ……（4）
把（3）、（4）两式，代入（2）式可得：
p²/4 - p²=-1/2 √{p^4/16 + (-p²)² + p²/4 * [(2p/k )² + 2p²]}
化解得：k²=16/11，所以k=± 4√11/11

本人想说，整个过程和最后的k值，经过三次验算，无误！！
圆锥曲线的题目，计算化解过程，巨繁，所以，被浏览次数多达30+，也无人愿意作答，

加分给我吧：）

希望能够帮助你释疑！

Answer 2

怎么我做出来的是√3*4/5

既然有两个人做出来这样，也许是我错了吧

Answer 3

设焦点为P(p/2,0)，A为(x1,y1)，B为(x2,y2)(y1>0>y2)，则tan∠AOP=y1/x1，
tan∠POB=-y2/x2，
tan∠AOB=tan(∠AOP+∠POB)=[(y1/x1)+(-y2/x2)]/[1-(y1/x1)*(-y2/x2)]
=(y1x2-y2x1)/(x1x2+y1y2)=[2p(y1y2^2-y2y1^2)]/[(y1y2)^2+4p^2*y1y2]
=[2p(y1-y2)]/(y1y2+4p^2)=tan2π/3=-√3……(1)
设直线l的斜率为k，则其方程为：y=k(x-p/2)，把直线l的方程和抛物线方程联立，
得 y^2-2p/k y-p^2=0
所以y1y2=-p^2，y1+y2=2p/k，所以y1-y2=√[(y1+y2)^2-4y1y2]=2p√[(1/k^2)+1]
将其带入(1)解得k=± 4√11/11