Question

在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E.F.G分别是AB.BC.AA'的中点。求证：BD'垂直于平面EFG

Answer 1

[法一]取CC'的中点为H，由EF//GH，EFGH共面
取A'D'中点为I，C'D'中点为J，由GH//IJ，GHJI共面。
由EG//HJ，EFGHJI共面
该平面平行于三角形AD'C。
BB'垂直于ABCD，则AC垂直于BB'。又由AC垂直于BD，所以AC垂直于BB'D'D，BD'垂直于AC。
同理BD'垂直于D'C，则BD'垂直于三角形AD'C所在平面
所以BD'垂直于EFGHJI

[法二]
取CC'的中点为H，由EF//GH，EFGH共面
取A'D'中点为I，C'D'中点为J，由GH//IJ，GHJI共面。
由EG//HJ，EFGHJI共面
BB'垂直于ABCD，则AC垂直于BB'。又由AC垂直于BD，所以AC垂直于BB'D'D，BD'垂直于AC。
同理BD'垂直于D'C。
由AC//EF，AD'//GI，所以BD'垂直于EF和GI
所以BD'垂直于EFGHJI

Answer 2

图都没有

Answer 3

用三垂线定理做很简单