Question

急~实数 x,y,z 满足 x+y+z=0 且 x^2+y^2+z^2=1. 记 m 为 x^2, y^2, z^2 中的最大者，则 m 的最小值为？

答案是1/2.但是个人认为取不到1/2,究竟怎么做?十万火急!!!

Answer 1

说一下思路，你自己试一下：
x,y,z的平方的最大值，即绝对值最大的数，又因为三个数的和为0，故：
如果某一个数绝对值最大，则另两个数的一定同号
不妨设z最大，则xy≥0

然后，你将x＝－（y+z)代入x^2+y^2+z^2=1，整理得一个关于y的一元二次方程
2y^2+2zy+2z^2-1=0
同样你将y＝－(x+z)代入x^2+y^2+z^2=1，整理得一个关于x的一元二次方程
2x^2+2zx+2z^2-1=0
比较一下，你不难发现，这两个方程的形式是一样的，可以理解成x,y都是一个关于m的方程
2m^2+2zm+2z^2-1=0的两个根
然后根据这个方程有两个同号的的根，可得△≥0，两根之积2z^2-1/2≥0
可以得到z^2≥1/2
即z^2的最小值是1/2

Answer 2

不妨令 z^2 是最大的
x+y+z=0 1
得 z^2=x^2+y^2+2xy 2
x^2+y^2+z^2=1
得： z^2=1-（x^2+y^2） 3
2式+3式=2 z^2=1+2xy
z^2=1/2+2xy 4
2式-3式
x^2+y^2+xy =1/2 5
要想z^2最小，则xy最小
由5式可知，当X=6分之根号6 y=-2又6分之根号6时最小
即z=6分之根号6
m=1/6

追问

m 为 x^2, y^2, z^2 中的最大者!!!!按你这么说y^2>z^2