Question

高中数学难题

判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=ln(1+e^2x)-x

(2)f(x)=x^2+x (x<0)
=-x^2+x (x>0)

Answer 1

1:
解：
f(x)=ln(1+e^2x)-x
f(-x)=ln[1+e^(-2x)]+x=ln[1+1/(e^2x)]+x=ln[(e^2x+1)/(e^2x)]+x
=ln[(e^2x+1)*e^(-2x)]+x=ln(e^2x+1)+ln[e^(-2x)]+x
=ln(1+e^2x)-2x+x=ln(1+e^2x)-x
f(x)-f(-x)=ln(1+e^2x)-x-ln(1+e^2x)+x=0
所以f(x)=f(-x)所以为偶函数
2:
解：
当x<0时
f(x)=x^2+x
f(-x)=-(-x)^2-x
f(x)-f(-x)=x^2+x-[-(-x)^2-x]=x^2+x+x^2+x=2f(x)
所以f(x)=-f(-x)所以当x<0时为奇函数
当x>0时
f(x)=-x^2+x
f(-x)=(-x)^2+(-x)
f(x)-f(-x)=-x^2+x-(-x)^2-(-x)=-2x^2+2x=2f(x)
所以f(x)=-f(-x)所以当x>0为奇函数
所以在函数的取值范围内为奇函数

Answer 2

1. f(0)=ln(1+1)=ln2不等于0 so非奇非偶
2.f(x)=(x+1/2)^2-1/4 画图看对称轴就知道非奇非偶 是不是题目抄错了 有个是x^2-x

Answer 3

分别代入x,-x,，当f(x)=f(-x)时为偶函数
f(x)=-f(-x)为奇函数

Answer 4

第一个是偶函数，第二个是奇函数

Answer 5

(1)f(x)=ln(1+e^2x)-x
f(-x)=ln(1+e^2-x)+x =ln[(1+e^2x)/e^2x]+x=ln(1+e^2-x)-lne^2x+x=ln(1+e^2x)-x是偶函数
f(0)不是零所以非奇函数，为偶函数
(2)f(x)=x^2+x (x<0)
=-x^2+x (x>0)
可以画图，可以看出是奇函数
函数解法
X>0时，-X<0，f(-x)=x^2-x=-f(x)
X<0时，-x>0，f(-x)=-x^2-x=-f(x),
f(0)=0
所以是奇函数

Answer 6

(1)
f(-x)=ln[1+e^(-2x)]-(-x) =ln(1+1/e^2x)+x
=ln(1+e^2x)-lne^2x+x
=ln(1+e^2x)-x
=f(x) 偶函数
（2）
当x>0时
f(-x)=（-x）^2+（-x ）=x^2-x=-f(x) 奇函数
当a<0时
f(-a)=-(-a)^2+(-a)=-a^2-a=-(a^2+a)=-f(a) 奇函数
a=0 时 f(0)=0