Question

1.在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA＝2PB，记点P的轨迹曲线为C．

Answer 1

解：（1）设点P坐标为（x，y），由PA=2PB，得(x-2a)2+y2=2×(x-a)2+y2，平方整理得x2+y2=2a2，所以曲线C的方程为x2+y2=2a2
（2）①由AR→=λAQ→，得{x2-λx1=2a(1-λ)y2=λy1，∵Q，R在曲线C上，∴{x12+y12=2a2x22+y22=2a2，
∴x1=3-λ2a，x2=3λ-12λa，∵-2a≤x1，x2≤2a，∴3-22≤λ≤3+22
又Q，R不重合，∴λ≠1，∴λ的取值范围是[3-22，1)∪(1，3+22)
②存在符合题意的点T（a，0），证明如下：TS→=(x2-a，--y2)，TQ→=(x1-a，--y1)，
要证S，T，Q三点共线，只要证明TQ→∥TS→，即（x2-a）y1-（x1-a）（-y2）=0
∵y2=λy1，∴只要（x2-a）y1+λ（x1-a）y1=0
若y1=0，则y2=0成立
若y1≠0，只要x2+λx1-a（1+λ）=0成立
所以存在点T（a，0），使S，T，Q三点共线

Answer 2

设P（x，y）
因为PA=2PB
所以PA平方=4PB平方
PA平方=（x-2a）平方+y平方
PB平方=（x-a）平方+y平方
所以：（x-2a）平方+y平方=4（x-a）平方+4y平方
C曲线方程为：3x平方+3y平方-4ax=0