Question

如图，在三角形ABC中AB=AC,∠BAC=a,且60°＜a＜120°。P为三角形ABC内部一点，且PC=AC,角PCA=120°－a。

(1)用含a的代数式表示∠APC.
(2)求证：∠BAP=∠PCB
(3)求∠PBC的度数
file://C:\Documents and Settings\Administrator\桌面\未命名.bmp

Answer 1

解：在△ABC内取点D，使得PD//BC且BP=CD，连结AD

则易知四边形BCDP是等腰梯形

有∠PBC=∠DCB

因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB

则∠ABP=∠ACD

所以△ABP≌△ACD (SAS)

则AP=AD且∠BAP=∠CAD

在△ACP中，PC=AC，∠PCA=120°-a

则∠APC=∠PAC=(180°-∠PCA)/2=[180°-(120°-a)]/2=30°+a/2

又∠BAC=a，则∠BAP=∠BAC-∠PAC=a-(30°+a/2)=a-30°

所以∠PAD=∠BAC-∠BAP-∠CAD=a-2(a-30°)=60°

因为AP=AD，所以△PAD是等边三角形

则PD=AD

所以△PCD≌△ACD (SSS)

则∠PCD=∠ACD=∠PCA/2=60°-a/2

又∠BCA=∠CBA=(180°-∠BAC)/2=90°-a/2

则∠BCD=∠BCA-∠ACD=90°-a/2 -(60°-a/2)=30°

所以∠PBC=∠BCD=30°

Answer 2

1、在三角形APC中，因为PC=AC，所以∠CPA=∠CAP，因为∠CAP+∠CPA+∠ACP=180°，所以∠CPA=∠CAP=（180° -∠ACP）/2=（60° +a）/2=30° +a/2
2、∠BAP=∠BAC-∠CAP=a-（30+a/2）=a/2-30°
在三角形ABC中，∠BCA=∠ABC=（180-a）/2=90° -a/2
∠PCB=∠BCA-∠ACP=90-a/2-（120° -a）=a/2-30°
所以∠BAP=∠PCB
3、∠PBC=30°
分别延长CP、AP交BC于F 点，交AB于E点
因：∠BAP=∠PCB，可得AEFC四点共圆，得∠EFB=a，∠EFA=∠ECA，∠FEC=∠CAF
所以可得BF=EF，EF=PF，即BF=PF
又因为∠AFC=∠ABC+BAF=90-a/2+a/2-30=60° ，即得∠PBC=∠BPF=30°