Question

已知f（x）=ax-lnx，x属于（0，e】，g(x)=lnx/x,其中e是自然数，a=1，求证f(x)>g(x)+1/2 具体来

Answer 1

证明：
f（x）=x-lnx;
求导，得1-1/x；
令其等于0；可得x=1；便可知道，在（0，1]函数f(x)单调减，在[1,e]函数f(x)单调增，也即在x=1处是f(x)的最小值，f(x=1)=1-ln1=1.
同理对g(x)求导，得（1-lnx）/(x*x);
令其等于0；可得x=e；函数g(x)在（0，e]区间单调增；也就是说在x=e处函数g(x)取得最大值。g(x=e)=lne/e=1/e;
而e>2;也即1/e+1/2<1；而f(x)在(0,e]区间最小值为1；
所以恒有：f(x)>g(x)+1/2；得证！

Answer 2

先写成x-lnx-lnx/x>1/2,令h(x)=x-lnx-lnx/x
对h(x)求导，再求h(x)的增减性
求出最小值和1/2比较