Question

已知两个正数x,y满足x+y=4,且使得不等式1/x+4/y≥m，恒成立的实数m的取值范围是

我想要解析

Answer 1

1/x+4/y=4/4x+4/y=(x+y)/4x+(x+y)/y=5/4+(y/4x+x/y)≥5/4+2=13/2
当且仅当2x=y，即x=4/3，y=8/3时，等号成立。
要使不等式1/x+4/y≥m恒成立
只要m≤13/2

Answer 2

由柯西不等式(1/x+4/y)(x+y)≥(1+2)^2=9
而x+y=4
所以1/x+4/y最小值9/4
m≤9/4
x=4/3,y=8/3时成立