Question

已知Sn是等比数列an的前n项，如果a2,a8,a5成等差数列，那么S3,S9，S6成等差数列吗？请说明理由

Answer 1

2a8=a2+a5
2a1q^7=a1(q+q^4
2q^6=1+q^3, a^3=1, or q^3=-1/2
S3+S6=a1[q^3-1+q^6-1]/(q-1)=a1(q^3+q^6-2)/(q-1)=0 or -2.25a1/(q-1)
2S9=2a1(q^9-1)/(q-1)= 0 or -2.25a1/(q-1)
所以无论q^3=1 or q^3=-1/2，S3，S9.S6都成等差数列。

Answer 2

设等比数列首项为c，公比为q
由a2,a8,a5成等差数列：2cq^7=cq+cq^4，即2(q^3)^2-q^3-1=0,求得q^3=1或-1/2
若q=1，显然不成等差数列；若q≠1，
Sn=c(1-q^n)/(1-q)，
(S3+S6-2S9)(1-q)/c=2q^9-q^3-q^6=2(-1/2)^3-(-1/2)-(-1/2)^2=-(1/2)=0
故当q=1时不成等差数列，当q^3=-1/2时成等差数列。