Question

高中三角函数题目

设锐角三角形ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c， a=2b sinA．
求 cosA+sinc的取值范围．
在百度上找了很多的答案，问题是看不懂。
把cosA+sinc化成√3*sin（A-pi/3）的形式，可是别的答案说A的范围是60°到90°。然后得出正确答案（√3/2,3/2）。不明白，A的范围为什么是这样。
解决一下，不然我晚上睡不着了。谢谢。

Answer 1

首先，由正弦公式知b:sinB=a:sinA，从而由关系式a=2b sinA知，sinB=1/2，再由锐角三角形ABC知B=30°。
其次，cosA+sinC=cosA+sin(150°-A)=cosA+cosA/2+√3sinA/2=√3sinA/2+3cosA/2=√3sin(A+60°)。
由于A、C都是锐角，所以，A<90°且150°-A<90°，从而60°<A<90°。
因此，cosA+sinC=√3sin(A+60°)的取值范围为（√3/2,3/2）。

追问

啊。谢谢哟。A<90°且150°-A<90°，看到这个我懂了。其他几个童鞋的答案都不怎么理解。
不管你是复制的还是自己写的。都万分感谢哦。睡觉去了哈。

Answer 2

（1）由正弦定理，a/sinA=b/sinB,则有a/sinA=b/sinB=2b，因此sinB=1/2,B=30度。
（2）由B=30度，得A+C=150度。且ABC是锐角三角形，故有60度<A<90度，60度<C<90度。cosA+sinC=cosA+sin(150度-A)=cosA+sin(30度+A)=cosA+cos(60度-A)=2cos30度*cos(A-30度)=sqrt(3)cos(A-30度),又因为60度<A<90度，故30度<A-30度<60，因此sqrt(3)/2<cosA+sinC<3/2

Answer 3

a=2b sinA
又由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
所以有2RsinA=2*2RsinBsinA,
化简即2sinB=1，故可得B=30°
而三角形ABC 是锐角三角形
所以A小于90°，C小于90°，
A+C=150°，所以A大于60°
综上所述，A的范围是60°到90°

Answer 4

由a=2b sinA和正弦定理得：sinA=2sinAsinB，所以sinB=1/2.即B为30度，而这个三角形为锐角三角形，故A肯定小于90度，而有一个角B已经为30度了，所以A必定要大于60度，不然C就大于90度了，不能成为锐角三角形了。