Question

已知函数f（x）=ax^3-3x在x=1上取得极值

①.求函数f（x）的极大值和极小值。
②.过点（0，16）作曲线y=f（x）的切线。求此切线方程。

Answer 1

已知函数f（x）=ax^3-3x在x=1上取得极值
①.求函数f（x）的极大值和极小值。
②.过点（0，16）作曲线y=f（x）的切线。求此切线方程

①. 令 f ' (x) = 3ax² - 3 = 3(ax² - 1) = 0
ax² = 1
x = ± 1/√a)
根据已知，a = 1， 所以有两个极值点 x = ± 1
原函数为 f(x) = ax^3 - 3x f ' (x) = 3(x² - 1) ------ ⑴
当 x 介于±1之间时，f' (x) ＜ 0 ，单调减小；
其余部分都 f' (x) ＞ 0 ，单调增加；
所以，x = -1是极大值 x = +1是极小值

②.过点（0，16）作曲线y=f（x）的切线。求此切线方程。
设此切线方程为 y = k(x - 0) + 16 -------已经考虑了切线经过点（0，16）
切点处的斜率k 就是一阶导数在切点的数值
代入⑴ 式： y ' (x = 0) = 3(x² - 1) = - 3 -------这就是 k
所以切线方程为 y = k(x - 0) + 16 = -3(x - 0) + 16 = 16 - 3x

Answer 2

求导3ax^2-3=0,x=1
所以a=1

追问

你好，还有第二问

Answer 3

3ax^2-3=0,x=1
a=1