已知函数f(x)=a-1/|x|
已知函数f(x)=a-1/|x|(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围(3)若函数y=f(x...
已知函数f(x)=a-1/|x|
(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围
(3)若函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[m,n](m≠n),求实数a的取值范围 展开
(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围
(3)若函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[m,n](m≠n),求实数a的取值范围 展开
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(1):∵x>0故f(x)=a-1/x ;设x1,x2>0且x2>x1,则f(x2)-f(x1)=(a-1/x2)-(a-1/x1)=1/x1-1/x2=(x2-x1)/x1x2 ∵x2-x1>0,x1x2>0,故f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1)故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数
(2)f(x)<2x,即
a-(1/ |x| )<2x,又x>1即
a<2x+1/x
设g(x)=2x+1/x (x>1),令x2>x1,则
g(x2)-g(x1)=2x2-1/x1+2x1-1/x2=(x2-x1)(2x1x2-1)/(x1x2)
x2>x1>1,即x2-x1>0,2x1x2-1>0
所以g(x2)-g(x1)>0
所以g(x)为增函数,所以g(x)>g(1)=3
所以a≤g(1)=3,即
a≤3
(3)由f(x)=f(-x)知,为偶函数;
根据第(1)小题(0,+∞)上是增函数,故在(-∞,0)上是减函数。
若0<m<n,则有:
f(m)=m,a=m+1/m
f(n)=n, a=n+1/n
m+1/m=n+1/n;
mn=1,互为倒数!
由于m≠n,故m<1,n>1
a=m+n>2
若m<n<0,则有:
f(m)=n,a=n-1/m
f(n)=m, a=m-1/n
n-1/m=m-1/n
mn=1
由于m≠n,故m<-1,-1<n<0
a=n-1/m=n-n=0
综上:a=0或a>2
(2)f(x)<2x,即
a-(1/ |x| )<2x,又x>1即
a<2x+1/x
设g(x)=2x+1/x (x>1),令x2>x1,则
g(x2)-g(x1)=2x2-1/x1+2x1-1/x2=(x2-x1)(2x1x2-1)/(x1x2)
x2>x1>1,即x2-x1>0,2x1x2-1>0
所以g(x2)-g(x1)>0
所以g(x)为增函数,所以g(x)>g(1)=3
所以a≤g(1)=3,即
a≤3
(3)由f(x)=f(-x)知,为偶函数;
根据第(1)小题(0,+∞)上是增函数,故在(-∞,0)上是减函数。
若0<m<n,则有:
f(m)=m,a=m+1/m
f(n)=n, a=n+1/n
m+1/m=n+1/n;
mn=1,互为倒数!
由于m≠n,故m<1,n>1
a=m+n>2
若m<n<0,则有:
f(m)=n,a=n-1/m
f(n)=m, a=m-1/n
n-1/m=m-1/n
mn=1
由于m≠n,故m<-1,-1<n<0
a=n-1/m=n-n=0
综上:a=0或a>2
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2024-10-13 广告
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