Question

急！求教几道高中数学题！要详细解题思路,谢谢！

1、已知A、B是抛物线y^2=2px(p>0)上两点，若OA=0B,且三角形AOB的垂心是抛物线的焦点，求直线AB的方程。
2、若M是抛物线Y^2=X上一点，N是圆（x-3)^2+y^2=1上一点，则MN 的最小值是多少？
3\若M是抛物线y^2=2x上一点，点p坐标是（3,10／3），设d是点M到准线的距离，要使d＋MP最小，则点M的坐标是什么？

Answer 1

抛物线焦点F坐标为（p/2, 0)，因为OF是△ABO的垂心，所以，OF的延长线垂直于AB，所以，AB‖y轴
设点A坐标为（x, y), 则点B坐标为（x, -y)
直线AF⊥OB，
AF的斜率为：y/(x-p/2)
OB的斜率为：-y/x
因为：直线AF⊥OB，所以，y/(x-p/2)=x/y
得，y²=x²-px/2，把y²=2px代入,得，
2px=x²-px/2, 即：x²-5px/2=0，即：x(x-5p/2)=0
解得，x=0（舍去）,或，x=5p/2
所以，直线AB的方程为：x=5p/2
第二问：
设m点坐标（y^2,y),(x-3)^2+y^2=1的圆心O(3,0),|MO|^2=(y^2-3)^2+y^2=y^4-5y^2+9=(y^2-5/2)^2+11/4,|MO|^2最小值是11/4,|MO|最小值是(√11)/2,圆的半径是1，所以|mn|最小值是(√11)/2 -1
第三问：
因为抛物线的离心率为1，d=M到焦点的距离，那么题目将转化为求MF+MP的值 通过连接M.F.P三点可知，当它们在同一条直线上时最短。 由Y^2=2X① 得F（1/2，0） 直线PF表达式为4x-3y-2=0② 知M在直线PF上 又知M点在抛物线上，联立方程①② 得x=2 或-1/2 因为抛物线在X的正半轴上，x=-1/2舍去 得M（2，2）

Answer 2

第一题
解：由A、B是抛物线y2=2px（p＞0）的两点，|AO|=|BO|，及抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．
设直线AB的方程是 x=m，则 A（ m， 2pm）、B（m，- 2pm）
|△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点F（ p2，0 ）
∴AF⊥OB，KAF•KOB=-1，
∴ 2pm-0m-p2• -2pm-0m-0=-1
∴m= 5p2，∴直线AB的方程是 x= 5p2