Question

如图边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上 急求帮助~~~

如图边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上,点B在第一象限,一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒，将线段BP的中点P绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA，过P作PD⊥OB于点D.(1）填空：PD长为____.用含t的代数式表示。）（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）（3）在P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值，若不能请说明理由。（4）填空：在P从O向A运动的过程中点C运动路线的长为_______。

Answer 1

1。PD=1/2根号3*t
2。过C作CF垂直OA垂足F
可证明三角形PCF与BDP相似且相似比是1/2
所以PF=1/2BD=1/2(4-1/2t)=2-1/4t
OF=2+3/4t
CF=1/2PD=1/4根号3*t
C坐标(2+3/4t,1/4根号3*t)
3。当角PCA=90度时,有三角形PCF与ACF相似
所以有CF平方=PF*AF
可求出PF=2-1/4t,AF=4-OF=2-3/4t
CF=1/4根号3*t
所以有(1/4根号3*t)平方=(2-1/4t)(2-3/4t)
求得t=2,这时,P是OA的中点
当角CAP=90的时候
这时C的横坐标就是4
2+3/4t=4
t=8/3
4。设C(x,y)有x=2+3/4t,y=1/4根号3*t,消去t
得y=1/3根号3*x-8/3根号3
所以C点的运动痕迹是一条线段
当t=0时,C1(2,0)
当t=4时,C2(5,根号3)
C1C2=2根号3

Answer 2

（1）利用三角形OPB的面积，PD×4×0.5=OP×2根号3乘0.5 带入OP即得PD长
(2)过C做OA的垂线交于点Q 要求C的坐标只需知道PQ,CQ的长 易证三角形BPD与三角形PCQ相似 得CQ，PQ长 C点坐标即得
(3)同（2），利用三角形相似，假设角PCA,角PAC分别为直角时，求t
（4）因为C点是BP中点旋转后得到的 那么只需求BP中点的运动路线即可