Question

已知三角形的三个内角A,B,C成等差数列，记角A,B,C的对边分别为a,b,c且a+b+c=1

求证：(1/a+b )+(1/b+c)=(3/a+b+c)

Answer 1

A+B+C=3B=180 => B=60 => b^2=a^2+c^2-ac
(a+b+c)/(a+b)=1+c/(a+b)
(a+b+c)/(b+c)=1+a/(b+c)
c/(a+b)+a/(b+c)=(bc+c^2+a^2+ab)/(ab+b^2+bc+ac)=(bc+b^2+ac+ab)/(ab+b^2+bc+ac)=1
所以(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)]=1+1+1=3
1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)

Answer 2

ABC成等差，且和为180°，可以求得B=60°
根据余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=1/2，所以a^2+c^2=b^2+2ac
求(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)=2+c/(a+b)+a/(b+c)=2+(a^2+c^2+ab+bc)/(b^2+2ac+ab+bc)=3
所以有1/(a+b )+1/(b+c)=3/(a+b+c)