Question

设向量a1,a2,a3线性无关，则下列向量线性无关的是

Aa1+a2,a1+a3,2a1+a2+a3
B-a1+a3,a1+a3,2a1+a2+a3
Ca2-a3,a1+a3,2a1+a2+a3
Da1+a3,a2+a3,a1+a2+a3

Answer 1

若向量组a1，a2，a3线性无关则满足k1*a1+k2*a2+k3*a3=0的充要条件为k1=k2=k3=0

例如：E=a1+2a2，a3设未知量p1，p2

p1（a1+2a2）+p2*a3=0换成a1，a2，a3的形式

得：p1*a1+2*p1*a2+p2*a3=0

由a1，a2，a3线性无关，则p1=0，2*p1=0，p2=0

所以E=a1+2a2，a3相性无关

定理：

设A为m×n阶矩阵，又已知m≤n，如果其中m个行向量是线性独立的，则A矩阵有最大可能的秩，其秩为m。如果n≤m，若其中n个列向量是线性独立的，则A矩阵有最大可能的秩，其秩为n。

如果A矩阵具有最大可能的秩，即rankA=min(m，n)，则称A矩阵为最大秩矩。

以上内容参考：百度百科-线性独立

Answer 2

同样的方法
因为行列式
1 1 0
1 0 1
2 1 1
= 2 - 1 -1 = 0
所以A组线性相关. 其实可以看出来: 第3个向量是前2个向量的和.

因为行列式
-1 0 1
1 0 1
2 1 1
= 2 ≠ 0
所以B组线性无关

因为行列式
0 1 -1
1 0 1
2 1 1
= 0
所以C组线性相关

1 0 1
0 1 1
2 1 1
= -2 ≠ 0
所以D组线性无关.

若是多选题的话, 只能都试一下, 没好办法

Answer 3

B
k1(-a1+a3)+k2(a1+a3)+k3(2a1+a2+a3) =0
(-k1+k2+2k3)a1+k3a2+ (k1+k2+k3)a3=0
=>-k1+k2+2k3 =0 and k3=0 and k1+k2+k3 =0
=> k1=k2 and k3=0 and k1=-k2
=> k1=k2=k3 =0
=>-a1+a3,a1+a3, 2a1+a2+a3 are linearly independent.

Answer 4

E