Question

圆的轨迹方程的数学题求解

1. M（3,0）是圆x²+y²-8x-2y+10=0内一点，过点M的最短的弦所在的直线方程为？
2. 在△ABC中，已知|BC|=2，且|AB|/|AC|=m，求A的轨迹方程

Answer 1

(1)将x2+y2-8x-2y+10=0化为标准方程：
（x-4）^2+（y-1）^2=7，
∴圆心C的坐标（4，1），
∵M点在圆内，∴当过M点的直线与CM垂直时，所得弦最短，
∴所求直线的斜率k=--1，
代入点斜式方程得，y=-1×（x-3），
即所求的直线方程为：x+y-3=0．
故答案为：x+y-3=0．

(2)
|AB|/|AC|=m,
所以m>0
令BC在x轴上，且BC的中点为原点
A的坐标为(x,y)
则|AB|^2=(x+1)^2+y^2,
|AC|^2=(x-1)^2+y^2
(x+1)^2+y^2=m[(x-1)^2+y^2]
(m^2-1)*x^2-2*(m^2+1)*x+(m^2-1)+(m^2-1)*y^2=0
两种情况
m=1，则x=0，
A的轨迹是BC的垂直平分线
m≠1，则整理可得：
[x+2m／（1-m^2）]^2+y^2＝[2m/（1-m^2）]^2.
A的轨迹是圆，
圆心（-2m/（1-m^2），0），
半径|2m/（1-m^2）|