三角函数 证明
证明第一行第二个等式(右上角),其他的若同理可证一下(有追加悬赏),不同理不用证尽量用初等数学~等式右边分母为2的n-1次方...
证明第一行第二个等式(右上角),其他的若同理可证一下(有追加悬赏),不同理不用证
尽量用初等数学~
等式右边分母为2的n-1次方 展开
尽量用初等数学~
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第一题令
z = cos x + i sin x
w = cos(π/n) + i sin(π/n)
那么sin(x+kπ/n) = [(zw^k)^2-1]/(2i zw^k), sin(nx)=[z^(2n)-1] / (2i z^n)
整理一下就可以得到第一个式子
把左边的(z^2-1)除到右边,让z->1再开方就得到第二个式子
第二题利用cos t = sin2t / (2sint),结合第一题
第三题先对de Moivre定理 (cos t + i sin t)^n = cos(nt) + i sin(nt) 左侧用二项式定理展开,然后两端取虚部得到
C(n,1) sin t (cos t)^{n-1} - C(n,3)(sin t)^3 (cos t)^{n-3} + ... = sin(nt)
同除掉(sin t)^n就得到关于cot t的一个方程,直接验证此方程的根恰好是cot(kπ/n),再用Vieta定理就行了
z = cos x + i sin x
w = cos(π/n) + i sin(π/n)
那么sin(x+kπ/n) = [(zw^k)^2-1]/(2i zw^k), sin(nx)=[z^(2n)-1] / (2i z^n)
整理一下就可以得到第一个式子
把左边的(z^2-1)除到右边,让z->1再开方就得到第二个式子
第二题利用cos t = sin2t / (2sint),结合第一题
第三题先对de Moivre定理 (cos t + i sin t)^n = cos(nt) + i sin(nt) 左侧用二项式定理展开,然后两端取虚部得到
C(n,1) sin t (cos t)^{n-1} - C(n,3)(sin t)^3 (cos t)^{n-3} + ... = sin(nt)
同除掉(sin t)^n就得到关于cot t的一个方程,直接验证此方程的根恰好是cot(kπ/n),再用Vieta定理就行了
追问
前四行明白,从第五行开始不明白,怎么整理而得?再弱弱的问一句:第四行的第一个式子令k=0,则sinx=0 ? 这怎么可能?
追答
学过极限的话直接用lim_{x->0} sin(nx)/sinx = n
没学过的话就按z的函数来处理,把z^2-1除掉,(z^{2n}-1)/(z^2-1)=z^{2n-2}+...+z^2+1总知道的吧,再把z=1代进去
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数学归纳法 可能证不出
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这题还真难,没证出来,不过我找到一篇文章,希望对你有帮助:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj200411012.aspx
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我记得这道题目是可以用复数方法做的~
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