Question

三角函数 证明

证明第一行第二个等式（右上角），其他的若同理可证一下（有追加悬赏），不同理不用证
尽量用初等数学~
等式右边分母为2的n-1次方

Answer 1

第一题令
z = cos x + i sin x
w = cos(π/n) + i sin(π/n)
那么sin(x+kπ/n) = [(zw^k)^2-1]/(2i zw^k), sin(nx)=[z^(2n)-1] / (2i z^n)
整理一下就可以得到第一个式子
把左边的(z^2-1)除到右边，让z->1再开方就得到第二个式子

第二题利用cos t = sin2t / (2sint)，结合第一题

第三题先对de Moivre定理 (cos t + i sin t)^n = cos(nt) + i sin(nt) 左侧用二项式定理展开，然后两端取虚部得到
C(n,1) sin t (cos t)^{n-1} - C(n,3)(sin t)^3 (cos t)^{n-3} + ... = sin(nt)
同除掉(sin t)^n就得到关于cot t的一个方程，直接验证此方程的根恰好是cot(kπ/n)，再用Vieta定理就行了

追问

前四行明白，从第五行开始不明白，怎么整理而得？再弱弱的问一句：第四行的第一个式子令k=0，则sinx=0 ? 这怎么可能？

追答

学过极限的话直接用lim_{x->0} sin(nx)/sinx = n
没学过的话就按z的函数来处理，把z^2-1除掉，(z^{2n}-1)/(z^2-1)=z^{2n-2}+...+z^2+1总知道的吧，再把z=1代进去

Answer 2

数学归纳法 可能证不出

Answer 3

这题还真难，没证出来，不过我找到一篇文章，希望对你有帮助：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj200411012.aspx

Answer 4

我记得这道题目是可以用复数方法做的~

Answer 5

有点晚了，明天帮你想想。