Question

高一三角函数证明题

证明：1.在ΔABC中，sinA+sinB+sinC=4cosA/2· cosB/2·cosC/2
2.在ΔABC中，若A+B=120`,求证a/(b+c) +b/(a+c)=1
3.在ΔABC中，若a·cos2 C/2+c cos2 A/2=3b/2,求证a+c=2b

Answer 1

1. 在ΔABC中，sinA+sinB+sinC=4cosA/2• cosB/2•cosC/2
证明：因为
4cosA/2• cosB/2•cosC/2=4cosA/2• cosB/2•cos[（π-（A+B））/2]
=4cosA/2• cosB/2•cos[π/2-(A+B)/2]
=4cosA/2• cosB/2•sin(A/2+B/2)
=4cosA/2• cosB/2•(sinA/2•cosB/2+ sinB/2•cosA/2)
=4cosA/2• cosB/2•sinA/2•cosB/2+4cosA/2• cosB/2• sinB/2•cosA/2
=2sinAcos2B/2+2sinBcos2A/2
=2sinA [(1+cosB)/2]+ 2sinB [(1+cosA)/2]
= sinA + sinB + sinA cosB + sinB cosA
= sinA + sinB +sin(A+B)
又因为：A+B+C=π
所以：sin(A+B)=sin(π-C)
=sinC
所以：4cosA/2• cosB/2•cosC/2= sinA+sinB+sinC
原题得证

2. 在ΔABC中，若A+B=120`,求证a/(b+c) +b/(a+c)= 1
证明：因为
a/(b+c) +b/(a+c)= 1
可化简为：[a(a+c)+b(b+c)]/( a+c)( b+c)=1
( a2+ac+b2+bc)/(ab+ac+bc+c2)=1
a2+ac+b2+bc =ab+ac+bc+c2
a2+b2 =ab+c2
c2= a2+b2-ab
又因为：A+B=120` A+B+C=π
所以：C=60`
由余弦定理可知：c2= a2+b2-2abcosC
既有：c2= a2+b2-2abcos60`
所以：c2= a2+b2-ab
原题得证

3. 在ΔABC中，若a•cos2 C/2+c cos2 A/2=3b/2,求证a+c=2b
证明：因为
a•cos2 C/2+c cos2 A/2=3b/2
所以有：a•[(cosC+1)/2]+c •[(cosA+1)/2] =3b/2
a+c+a•cosC + c•cosA =3b
因为:

a=2RsinA
b=2RsinB
c=2RsinC
所以：a+c+a•cosC + c•cosA=a+c+2RsinA•cosC+2RsinC•cosA
=a+c+2Rsin(A+C)
又因为：A+B+C=π
所以：B=π-( A+C)
所以：a+c+a•cosC + c•cosA= a+c+2Rsin(A+C)
= a+c+2RsinB
即：a+c+a•cosC + c•cosA= a+c+b =3b
所以：a+c=2b
原题得证

追问

不好意思，第1题第7个等号没看懂.....

追答

你还记得倍角公式吗？
cos(2A)=cos2A-sin2A=1-2sin2A=2cos2A-1 (cos2A、sin2A中的2是平方的意思，不好意思啊，我在这上面不会打上标啊，在其他上面打来粘贴吗 都是这样的了，嘿嘿)
cosA=cos2(A/2)-sin2(A/2)=1-sin2(A/2)=2cos2(A/2)-1 (sin2(A/2)、cos2(A/2)中的2是平方的意思，（）里的2是数字2 哦)
我想你现在应该能看懂了，嘿嘿