Question

已知F1,F2是椭圆C x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b)的两个焦点，P是C上一点，PF1、PF2为向量，且3|PF1| |PF2|=4b^2,

已知F1,F2是椭圆C x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b)的两个焦点，P是C上一点，PF1、PF2为向量，且3|PF1| |PF2|=4b^2,求C的离心率的取值范围

Answer 1

左焦点F1(-c,0),右焦点F2(c,0)，左准线为x=-a^2/c，右准线为x=a^2/c
根据椭圆的第二定义：动点到焦点的距离：动点到准线的距离＝率心率e
其中，焦点和准线是对应的，也就是左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
因此：P点到左准线的距离为x+a^2/c，到右准线的距离为a^2/c-x
∴|PF1|＝（x+a^2/c）e，|PF2|＝（a^2/c-x）e
∴3|PF1| |PF2|=4b^2
　=（x+a^2/c）e*（a^2/c-x）e
　=[(a^2/c)^2-x^2]e^2
　=[(c/e^2)^2-x^2]e^2
　=a^2-x^2e^2
∴x^2=(a^2-4b^2)/e^2
∴0≤(a^2-4b^2)/e^2≤a^2
　0≤a^2-4b^2≤c^2
　0≤a^2-4(a^2-c^2)≤c^2
　0≤-3a^2+4c^2≤c^2
　3a^2≤4c^2≤c^2+3a^2
　两边同除以a^2得
　3≤4e^2≤e^2+3
解得
　√3/2≤e≤1
其中e=1不符合椭圆定义，因此：
　√3/2≤e＜1

Answer 2

解：椭圆：x²/a²＋y²/b²＝1，c²＝a²－b²
∴F1（－c，0），F2（c，0），F1F2＝2c
∵PF1⊥PF2
∴PF1²＋PF2²＝F1F2²＝4c²＝4（a²－b²）①
由椭圆定义：PF1＋PF2＝2a，
∴PF1²＋PF2²＋2PF1×PF2＝4a²②
②－①得2PF1×PF2＝4b²，
∴PF1×PF2＝2b²
S△PF1F2＝PF1×PF2/2＝2b²/2＝b²＝9
∴b＝3