Question

江西2011高考数学文科第十七题

三角形ABC中，3acosA=bcosC+ccosB。
（1）cosA=？（会做）已知cosA=1/3 sinA=三分之二根号二
（2）已知cosB+cosC=三分之二根号三 ，a=1 。
求边c的长。
第一问很简单，把等式两边的abc换成sinA，sinB，sinC。得出3sinAcosA=sinBcosC+cosBsinC （和差公式）sin（B+C）
又因为三角形中sin（B+C）=sinA 所以3cosA=1
cosA=1/3

第二问不会。。。。求教

Answer 1

（1）余弦定理： b^2 = a^2 + c^2 - 2accosB ①
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC ②
相加并化简得到
a = ccosB + bcosC
结合已知 3acosA = bcosC + ccosB
得到： 3acosA = a ===> cosA = 1/3

你那种方法也不错

（2）根据 cosA = 1/3 ===> sinA = √8/3
cosB = - cos(A+C) = - cosAcosC + sinAsinC = - 1/3cosC + √8/3*sinC ③
又已知 cosB + cosC = √12/3 代入 ③
cosC + √2sinC ＝ √3
√(1 - sinC^2) = √3 - √2sinC
解得 sinC = 2/√6 = √6/3
已知 a = 1
正弦定理： c = asinC/sinA = 1*√6/3 / (√8/3) = √3/2
答案 ： c =√3/2

这道题目比较简单，就是计算量有些大

Answer 2

最笨的方法是：
cosA=(b^2+c^2-1)/2*b*c=1/3..........(1)%%%第一问条件
cosB+cosC=2*3^0.5/3
用余弦函数将上式转换为b和c的另一个方程。。。。。（2）%%%第二问条件
加上a=1这一条件，至此题目所有条件都至少啊用过了一次，按道理应该Ok了
联立（1）和（2）即可解出b和c
可以想象最直接的方法必定是相当难算的，但肯定是思路最简单的，呵呵
简单方法短时间内没看出来，楼主再研究研究

Answer 3

由cosA=1/3
得sinA=三分之二根号二
则cosB=-cos（A+C)=-1/3cosC+
三分之二根号二sinC,代入
cosB+cosC=三分之二根号三
得cosC+根号二sinC=根号三
从而得sin（C+X)=1，其中sinX=三分之二根号三，cosX=三分之二根号六，，，，0<X<二分之π
所以C+X=二分之π,则sinC=
三分之二根号六
再由正弦定理得C=asinA/sinC=二分之根号三