Question

如图，已知以点A（2，-1）为顶点的抛物线经过点B（4，0）。

(1）求该抛物线的解析式
（2）设点D为抛物线于对称轴与X轴的交点，点E为抛物线上动点，过点E作直线Y=-2的垂线，垂足为N。
探索，猜想线段EN与ED的数量关系，并证明结论
抛物线上是否存在点E使三角形EDN为等边三角形？若存在求出所有满足条件的点E坐标；若不存在说明理由。

Answer 1

解答：⑴由顶点式设抛物线解析式为：y=a﹙x－2﹚²－1，将B点坐标代人解得：a=1／4，∴抛物线解析式为：y=¼﹙x－2﹚²－1。⑵由上知：对称轴x=2，∴D点坐标为D﹙2，0﹚，设E点坐标为E﹙m，n﹚，则N点坐标为N﹙m，－2﹚，∴由两点距离公式得：DE²=﹙m－2﹚²＋﹙n－0﹚²，又∵E点在抛物线上，∴n=¼﹙m－2﹚²－1，∴﹙m－2﹚²=4﹙n＋1﹚，代人上式得：DE²=﹙n＋2﹚²，而EN ²=﹙n＋2﹚²，∴线段DE=线段EN。又由DN²=﹙m－2﹚²＋﹙－2﹚²=4﹙n＋1﹚＋4=DE²=﹙n＋2﹚²，∴解得：n=±2，但当n=－2，由图像可得：这样的点不存在，∴n=2，代人解析式得：m=2±2√3，∴这样的E点有两个：﹙2＋2√3，2﹚﹙2－2√3，2﹚。