Question

已知函数f(x)=16x³-20ax²+8a²x-a³

（1）求f(x)的极大值和极小值
以求出y'=48x^2-40ax+8a^2 ,y'=0 ,
0=48x^2-40ax+8a^2=8(6x^2-5ax+a^2)
=8(a-2x)(a-3x), x=a/2, x=a/3
a>0
x<a/3 , y'>0 , a/3<x<a/2 , y'<0
x>a/2 , y'>0
极大值为f(a/3)，极小值为f(a/2)
a<0
x<a/3 , y'<0 , a/3<x<a/2 , y'>0
x>a/2 , y'<0
极大值为f(a/2)，极小值为f(a/3)
（2）设（1）问中函数取得极大值的点为P（x,y），求点P的轨迹方程。

Answer 1

a>0
极大值为f(a/3) 将a=3x反代入函数f(x)立马得到极大点的轨迹方程：
G(x)=16x³-20ax²+8a²x-a³=x³ (此处x=a/3>0)
a<0
极大值为f(a/2) 将a=x反2代入函数f(x) 得：
G(x)=16x³ (此处x<0)
a=0 不存在极值点
所以最后得到点P的轨迹方程
x>0 G(x)=x³
x<0 G(x)=16x³