Question

若4X^2+Y^2+XY=1求2X+Y 的最大值

Answer 1

用最简单方法解，4X^2+Y^2+XY=1化简得(x/2+y)^2+(15/4)x^2=1
令(√15/2)x=rcosθ，x/2+y=rsinθ(其中r=1)->y=sinθ-(1/√15)cosθ带入2X+Y得
θ=arctan(√3/√5)=37.76°,max(2X+Y)=sinθ+(3/√15)cosθ

追问

可是高考的时候如何算θ，我感觉应该用不等式吧，现在浙江卷的三角函数难度已经大大下降了，你的这个方法大多数学生都不会，老师也只是提一下而已了。

追答

不用算，我只是告诉你θ可以求出来 ，到时候用arctan(√3/√5)表示就可以了，带入sinθ和cosθ用三角函数关系解，你想用基本不等式的话我看看，恩可以这样2X+Y 令2x=a,y=b，2X+Y=a+b
4X^2+Y^2+XY=1->a^2+b^2+ab/2=1->∵[(a+b)/2]^2≤(a^2+b^2)/2∴->
a^2+b^2+(a^2+b^2)/4-1≥a^2+b^2+ab/2-1=0所以2(a^2+b^2)≥8/5≥(a+b)^2,所以2X+Y=a+b≤√（8/5）
我一般很少用基本不等式，特别是这种有条件的题目，所以
其实三角函数法是我想告诉你的最简单方法，因为另外我原来想说的还有两种方法，1、解出x或者y带入2X+Y 用求导求极值，但是还是要注意x和y的定义域，总的来说容易错，因为定义域不好求，而且是二次函数解出来带根号的，这是一个坐标轴旋转了的椭圆，2、是条件极值的拉格朗日法，这个有点深，要学多元函数极值和线性代数的正交矩阵才行……
哎，不过高考真悲哀，我现在考试都带计算器的……