Question

已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,并且Sn=4an-1+3(n=1,2,3…),a1=1

(1)设cn=a(n+1)-2an（n=1,2,3，……），求证：数列{cn}为等比数列
（2）求{cn}的通项
（3）设bn=an/2^n（n=1,2,3，……）求{bn}的通项公式
（4）求{an}的前n项和Sn
要详细过程，谢谢啦

Answer 1

（1）Sn=4an-1+3
Sn-1=4an-2+3
两式相减得an=4a(n-1)-4a(n-2)，等式两边同时减去2a(n-1)，得
an-2a(n-1)=2[a(n-1)-2a(n-2)]，即c(n-1)=2c(n-2)，所以{cn}为等比数列
（2）c1=4，q-2，所以cn=2^(n+1)
（3）因为cn=a(n+1)-2an=2^(n+1)，等式同时除以2^(n+1)，得
a（n+1）/2^（n+1）-an/2^n=1，即b(n+1)-bn=1
所以bn是等差数列，b1=1/2，d=1所以bn=n-(1/2)
（4）an=bn*(2^n)其中bn是等差数列，2^n是等比数列，两者相乘求和用错位相减法即可

Answer 2

an+1=Sn+1-Sn
an+1=4an-4an-1
an+1-2an=2(an-2an-1)
得cn=a(n+1)-2an，
cn/cn-1=[a(n+1)-2an]/[an-2a(n-1)]
cn/cn-1=2(n≥2)
所以，Cn为等比数列
c1=a2-2a1
S2=a2+a1=4a1+3
a1=1，a2=6
c1=4
Cn=4*2^(n-1)
Cn=2^(n+1)

cn=a(n+1)-2an=2^(n+1)
a(n+1)/[2^(n+1)]-an/2^n=1
得an/2^n为等差数列，d=1
a1/2^1=1/2
an/2^n=1/2+n-1
an/2^n=n-1/2
bn=n-1/2

an=n2^n-2^(n-1)
分组求和
对于n2^n，的求和公式Tn
Tn= 1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+…… +n2^n
2Tn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+4*2^5+......+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)

Tn=n*2^(n+1)-2-[2^2+2^3+2^4+.......+2^n]
Tn=n2^(n+1)-2-[2^(n+1)-4]
Tn=(n-1)*2^(n+1)+2
则Sn=Tn+Σ2^(n-1)
Sn=(n-1)*2^(n+1)+2+(2^n-1)
Sn=(n-1/2)*2^(n+1)+1

Answer 3

∵S(n+1)=4an+2
∴当n≥2时，Sn=4a(n-1)+2
∴S(n+1)-Sn=4an-4a(n-1),
即：a(n+1)=4an-4a(n-1).............(1)
∴a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)],
即：bn=2b(n-1).
∴{bn}是等比数列.
等比数列{bn}的公比是2.
首项b1＝a2-2a1,
又S2＝4a1+2，a1+a2=4a1+2,
∴a2=3a1+2=5,
∴b1=3.
∴数列{bn}的通项公式是：bn=3*2^(n-1).
由a1=1.S(n+1)=4an+2得,S2=4a1+2=6=a1+a2,所以a2=5
由(1)得数列{a(n+1)-2an}为公比为2,首项为a2-2a1=3的等比数列,
所以a(n+1)-2an=3*2^(n-1)
两边都除以2^(n+1),得
a(n+1)/[2^(n+1)]-an/2^n=3/4
因此数列an/2^n为等差数列.(公差为3/4)
an/2^n=1/2+3/4(n-1)=3/4n-1/4
an=3*[2^(n-2)]*n-2^(n-2) =（3n-1）*2^(n-2)
cn=an/(3n-1)=（3n-1）*2^(n-2)/(3n-1)=2^(n-2)
所以数列{cn}是首项为1/2，公比为2等比数列。