Question

高中数学三角恒等变换

1.函数y=sin(x)^4+cos(A/2)^2的最小周期是( ) (这种复合函数的周期怎么算?)
A.2π B.π C.π/2 D.π/4

2.函数y=sin(x)cos(x)+√(3)*cos(x)^2-√(3)/2的图像的一条对称轴方程是( )
A.x=-π/12 B.x=π/3 C.x=π/12 D.x=-π/6

3.已知sin(α+3π/4)=5/13,cos(π/4-β)=3/5,且α属于(-π/4,π/4),β属于(π/4,3π/4),求cos(α-β)的值.

4.已知α为第二象限角,且sinα=√(15)/4,求sin(α+π/4)/(sin2α+cos2α+1)的值.

5.已知O为坐标原点,向量OA=(2cos²x,1),向量OB=(1,√(sin2x)+a)(x属于R,a属于R且a为常数),若y=向量OA乘向量OB.
(1)求y关于x的函数解析式f(x)
(2)若x属于[0,π/2]时,f(x)的最大值为2,求a的值,并求f(x)的单调区间.

6.求2sin20°+cos10°+tan20°sin10°的值

要过程哈

Answer 1

1.函数y=sin(x)^4+cos(A/2)^2的最小周期是( ) (这种复合函数的周期怎么算?)
A.2π B.π C.π/2 D.π/4
y=sin^4x+cos^2(x/2)
=(sin^2x)^2+cosx/2+1/2
=(1-cos2x)^2/4+cosx/2+1/2
=1/2(cos4x-cos2x+cosx)+5/4
对其中的三个余弦函数分别求出最小正周期，再取最小公倍数，即可得到最小正周期为2π，或者把答案代入到最终化简式，有f(x+T)=f(x)成立的选项就是。故选A。

2.函数y=sin(x)cos(x)+√(3)*cos(x)^2-√(3)/2的图像的一条对称轴方程是( )
A.x=-π/12 B.x=π/3 C.x=π/12 D.x=-π/6
y=sin(x)cos(x)+√(3)*cos(x)^2-√(3)/2
=(1/2)sin2x+(√3/2)cos2x
=sin2xcos60°+cos2xsin60°
=sin(2x+60°）。
对称轴处取到极值，所以有2x+60°=2x+π/3=kπ+π/2
x=kπ/2+π/12.当k=0，选择c。

3.已知sin(α+3π/4)=5/13,cos(π/4-β)=3/5,且α属于(-π/4,π/4),β属于(π/4,3π/4),求cos(α-β)的值.
因为：
sin(α+3π/4)=5/13
所以：
sin（π/4-a）=5/13,0<π/4-a<π/2，所以：cos(π/4-a)=12/13.
cos(π/4-β)=3/5,-π/2<π/4-β<0,所以：sin（π/4-β）=-4/5.
所以：
cos(α-β)
=cos[(π/4-β)-(π/4-a)]
=cos(π/4-β)cos(π/4-a)+sin(π/4-β)sin(π/4-a)
=56/65.

4.已知α为第二象限角,且sinα=√(15)/4,求sin(α+π/4)/(sin2α+cos2α+1)的值.
解:由α为第二象限角，且sinα=(√15)/4,可以知cosa=-1/4
sin(α+π/4)]=√2/2(sina+cosa)=√2/2*(√15-1)/4=√2*(√15-1)/8
sin2α+cos2α+1=2sinacosa+cosa*cosa-sina*sina+1=-√15/8+1/16-15/16=-(7-√15)/8
所以[sin(α+π/4)]/[sin2α+cos2α+1]=[√2*(√15-1)/8]/[-(7-√15)/8]
=[√2*(√15-1)]/[(√15-7)]
=-(4√2+3√30)/17

5.已知O为坐标原点,向量OA=(2cos²x,1),向量OB=(1,√(sin2x)+a)(x属于R,a属于R且a为常数),若y=向量OA乘向量OB.
(1)求y关于x的函数解析式f(x)
(2)若x属于[0,π/2]时,f(x)的最大值为2,求a的值,并求f(x)的单调区间.

y = OA.OB
= (2(cosx)^2,1).(1，√3sin2x+a）
= 2(cosx)^2 + √3sin2x+a
(2)
y' = -4cosxsinx + 2√3cos2x =0
sin2x-√3cos2x=0
tan2x = √3
x = π/6
y''(π/6)<0 ( max)
y(π/6) = 2(3/4)+ √3(√3/2) + a = 2
=> 3+a =2
a = -1

6.2sin20°+cos10°+tan20°sin10°的值
2sin20°+cos10°+tan20°*sin10°
=(2sin20°cos20°+cos10°cos20°+sin20°*sin10°)/cos20°（通分）
=(sin40°+cos10°)/cos20°
=(cos50°+cos10°)/cos20°
=2cos30°cos20°/cos20°（和差化积）
=√3

追问

4题倒数第4行最后一个=前面应该还要加1吧！

追答

恩。
sin2α+cos2α+1=2sinacosa+cosa*cosa-sina*sina+1=-√15/8+1/16-15/16+1=(1-√15)/8
所以[sin(α+π/4)]/[sin2α+cos2α+1]=[√2*(√15-1)/8]/[(1-√15)/8]
=[-√2*(√15-1)]/[(√15-1)]
=-√2

Answer 2

1题得方法是全部带进去试（信不信由你）（或者第一题A/2那里打错字了）
选C

2题可以直接化解
原式可化为u
sin（2x+π/3)
对称轴就是当2x+π/3=kπ+π/2
得x=π/12 符合条件
选C

3，：∵0<α<π/4<β<3π/4
∴3π/4<3π/4+α<π，-π/2<π/4-β<0
∴cos(3π/4+α)<0，sin(π/4-β)<0
∵sin(3π/4+α)=5/13，cos(π/4-β)=3/5
∴cos(3π/4+α)=-√[1-sin²(3π/4+α)]=-12/13
sin(π/4-β)=-√[1-cos²(π/4-β)]=-4/5
得cos(α-β)=...(自己算了）

4，哎，算伤了，你把题一道一道提问多好啊。。。

追问

拜托啦 这些都是我抓起来的典型题 弄懂了就当例题用
还有第一题那里确实错了 cos(A/2)^2应该改成cos(x)^2

追答

1题C是对的，恩
改天吧，今天我马上就去补课了

追问

嗯 还是谢谢你哈

追答

原来是四川（或湖北）的？
口音好像

追问

是四川的...

Answer 3

首先把它化简。