Question

函数数列{fn（x）}满足f1（1）/根号下（1+x^2) f(n+1)(x)=f1[fn(x)]求f2,f3

并用数学归纳法证明fn解析式

Answer 1

第一问，利用迭代。易知f1（x）=x/√（1+x^2），代入fn+1（x)=f1[fn(x)]，令n=1，得
f2（x）=f1（x）/√[1+（f1（x））^2]，代入其解析式有f2（x）=x/√（1+2x^2).
同理求f3（x）=x/√（1+3x^2).
第二问，猜想fn（x）=x/√（1+nx^2).(由f2（x），f3（x）解析式结构得到。
则，n=1时，其成立。
设n=k（k>=1)时，fk（x）=x/√（1+kx^2),则fk+1（x）=f1（fk（x）），代入前面的fk（x），看解出的fk+1（x）的解析式是否是fk+1（x）=x/√（1+（k+1）x^2),(解出的结果必定是这个）
则棕上，对于n属于（正整数），有fn（x）=x/√（1+nx^2)成立，命题得证。

Answer 2

解：（1），
；
（2）猜想：，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，，已知，显然成立；
②假设当n=k（k∈N*）时 ，猜想成立，即，
则当n=k+1时，，
即对n=k+1时，猜想也成立。
结合①②可知：猜想对一切n∈N*都成立。

Answer 3

我试着推了下，可是总感觉这个公式不对，你看看我写的这个公式对吗？？ 

或者你把公式写下给我。