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1、(安徽)按右图所示的流程,输入一个数据x,根据y与x的关系式就输出一个数据y,这样可以将一组数据变换成另一组新的数据,要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据,变换成一组新数据后能满足下列两个要求:
(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间;
(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大的对应的新数据也较大。
(1)若y与x的关系是y=x+p(100-x),请说明:当p= 时,这种变换满足上述两个要求;
(2)若按关系式y=a(x-h)2+k (a>0)将数据进行变换,请写出一个满足上述要求的这种关系式。(不要求对关系式符合题意作说明,但要写出关系式得出的主要过程)
【解】(1)当P= 时,y=x+ ,即y= 。
∴y随着x的增大而增大,即P= 时,满足条件(Ⅱ)……3分
又当x=20时,y= =100。而原数据都在20~100之间,所以新数据都在60~100之间,即满足条件(Ⅰ),综上可知,当P= 时,这种变换满足要求;……6分
(2)本题是开放性问题,答案不唯一。若所给出的关系式满足:(a)h≤20;(b)若x=20,100时,y的对应值m,n能落在60~100之间,则这样的关系式都符合要求。
如取h=20,y= ,……8分
∵a>0,∴当20≤x≤100时,y随着x的增大…10分
令x=20,y=60,得k=60 ①
令x=100,y=100,得a×802+k=100 ②
由①②解得 , ∴ 。………14分
2、(常州)已知 与 是反比例函数 图象上的两个点.
(1)求 的值;
(2)若点 ,则在反比例函数 图象上是否存在点 ,使得以 四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由 ,得 ,因此 . 2分
(2)如图1,作 轴, 为垂足,则 , , ,因此 .
由于点 与点 的横坐标相同,因此 轴,从而 .
当 为底时,由于过点 且平行于 的直线与双曲线只有一个公共点 ,
故不符题意. 3分
当 为底时,过点 作 的平行线,交双曲线于点 ,
过点 分别作 轴, 轴的平行线,交于点 .
由于 ,设 ,则 , ,
由点 ,得点 .
因此 ,
解之得 ( 舍去),因此点 .
此时 ,与 的长度不等,故四边形 是梯形. 5分
如图2,当 为底时,过点 作 的平行线,与双曲线在第一象限内的交点为 .
由于 ,因此 ,从而 .作 轴, 为垂足,
则 ,设 ,则 ,
由点 ,得点 ,
因此 .
解之得 ( 舍去),因此点 .
此时 ,与 的长度不相等,故四边形 是梯形. 7分
如图3,当过点 作 的平行线,与双曲线在第三象限内的交点为 时,
同理可得,点 ,四边形 是梯形. 9分
综上所述,函数 图象上存在点 ,使得以 四点为顶点的四边形为梯形,点 的坐标为: 或 或 . 10分
3、(福建龙岩)如图,抛物线 经过 的三个顶点,已知 轴,点 在 轴上,点 在 轴上,且 .
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出 三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点,是否存在 是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点 坐标;不存在,请说明理由.
解:(1)抛物线的对称轴 ………2分
(2) …………5分
把点 坐标代入 中,解得 ………6分
…………………………………………7分
(3)存在符合条件的点 共有3个.以下分三类情形探索.
设抛物线对称轴与 轴交于 ,与 交于 .
过点 作 轴于 ,易得 , , ,
① 以 为腰且顶角为角 的 有1个: .
8分
在 中,
9分
②以 为腰且顶角为角 的 有1个: .
在 中, 10分
11分
③以 为底,顶角为角 的 有1个,即 .
画 的垂直平分线交抛物线对称轴于 ,此时平分线必过等腰 的顶点 .
过点 作 垂直 轴,垂足为 ,显然 .
.
于是 13分
14分
注:第(3)小题中,只写出点 的坐标,无任何说明者不得分.
4、(福州)如图12,已知直线 与双曲线 交于 两点,且点 的横坐标为 .
(1)求 的值;
(2)若双曲线 上一点 的纵坐标为8,求 的面积;
(3)过原点 的另一条直线 交双曲线 于 两点( 点在第一象限),若由点 为顶点组成的四边形面积为 ,求点 的坐标.
解:(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 = 4时, = 2 .
∴ 点A的坐标为( 4,2 ).
∵ 点A是直线 与双曲线 (k>0)的交点 ,
∴ k = 4 ×2 = 8 .
(2) 解法一:如图12-1,
∵ 点C在双曲线 上,当 = 8时, = 1
∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) .
过点A、C分别做 轴、 轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON .
S矩形ONDM= 32 , S△ONC = 4 , S△CDA = 9, S△OAM = 4 .
S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .
解法二:如图12-2,
过点 C、A分别做 轴的垂线,垂足为E、F,
∵ 点C在双曲线 上,当 = 8时, = 1 .
∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ).
∵ 点C、A都在双曲线 上 ,
∴ S△COE = S△AOF = 4 。
∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .
∴ S△COA = S梯形CEFA .
∵ S梯形CEFA = ×(2+8)×3 = 15 ,
∴ S△COA = 15 .
(3)∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,
∴ OP=OQ,OA=OB .
∴ 四边形APBQ是平行四边形 .
∴ S△POA = S平行四边形APBQ = ×24 = 6 .
设点P的横坐标为 ( > 0且 ),
得P ( , ) .
过点P、A分别做 轴的垂线,垂足为E、F,
∵ 点P、A在双曲线上,∴S△POE = S△AOF = 4 .
若0< <4,如图12-3,
∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .
∴ .
解得 = 2, = - 8(舍去) .
∴ P(2,4).
若 > 4,如图12-4,
∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .
∴ ,
解得 = 8, = - 2 (舍去) .
∴ P(8,1).
∴ 点P的坐标是P(2,4)或P(8,1).
5、(甘肃陇南)如图,抛物线 交 轴于A、B两点,交 轴于点C,点P是它的顶点,点A的横坐标是 3,点B的横坐标是1.
(1)求 、 的值;
(2)求直线PC的解析式;
(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线
PC的位置关系,并说明理由.(参考数: , , )
解: (1)由已知条件可知: 抛物线 经过A(-3,0)、B(1,0)两点.
∴ ……………………………………2分
解得 . ………………………3分
(2) ∵ , ∴ P(-1,-2),C . …………………4分
设直线PC的解析式是 ,则 解得 .
∴ 直线PC的解析式是 . …………………………6分
说明:只要求对 ,不写最后一步,不扣分.
(3) 如图,过点A作AE⊥PC,垂足为E.
设直线PC与 轴交于点D,则点D的坐标为(3,0). ………………………7分
在Rt△OCD中,∵ OC= , ,
∴ . …………8分
∵ OA=3, ,∴AD=6. …………9分
∵ ∠COD=∠AED=90o,∠CDO公用,
∴ △COD∽△AED. ……………10分
∴ , 即 . ∴ . …………………11分
∵ ,
∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离. …………12分
6、(贵阳)如图14,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 的扇形.
(1)求这个扇形的面积(结果保留 ).(3分)
(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由.(4分)
(3)当 的半径 为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.(5分)
解:(1)连接 ,由勾股定理求得:
1分
2分
(2)连接 并延长,与弧 和 交于 ,
1分
弧 的长: 2分
圆锥的底面直径为: 3分
, 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥. 4分
(3)由勾股定理求得:
弧 的长: 1分
圆锥的底面直径为: 2分
且
3分
即无论半径 为何值, 4分
不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.
7、(河南)如图,对称轴为直线x= 的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)①当四边形OEAF的面积为24时,请判断OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
8、(湖北黄岗)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是 ,点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,设 秒后,直线PQ交OB于点D.
(1)求∠AOB的度数及线段OA的长;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)当 时,求t的值及此时直线PQ的解析式;
(4)当a为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与 相似?当a 为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与 不相似?请给出你的结论,并加以证明.
9、(湖北荆门)如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.
(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;
(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.
解:(1)由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合,则∠BPE=90°.∴∠OPE+∠APB=90°.又∠APB+∠ABP=90°,∴∠OPE=∠PBA.
∴Rt△POE∽Rt△BPA.…………………………………………………………2分
∴ .即 .∴y= (0<x<4).
且当x=2时,y有最大值 .…………………………………………………4分
(2)由已知,△PAB、△POE均为等腰三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(4,3).……6分
设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c,则 ∴
y= .…………………………………………………………8分
(3)由(2)知∠EPB=90°,即点Q与点B重合时满足条件.……………………9分
直线PB为y=x-1,与y轴交于点(0,-1).
将PB向上平移2个单位则过点E(0,1),
∴该直线为y=x+1.……………………………………………………………10分
由 得 ∴Q(5,6).
故该抛物线上存在两点Q(4,3)、(5,6)满足条件.……………………………12分
(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间;
(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大的对应的新数据也较大。
(1)若y与x的关系是y=x+p(100-x),请说明:当p= 时,这种变换满足上述两个要求;
(2)若按关系式y=a(x-h)2+k (a>0)将数据进行变换,请写出一个满足上述要求的这种关系式。(不要求对关系式符合题意作说明,但要写出关系式得出的主要过程)
【解】(1)当P= 时,y=x+ ,即y= 。
∴y随着x的增大而增大,即P= 时,满足条件(Ⅱ)……3分
又当x=20时,y= =100。而原数据都在20~100之间,所以新数据都在60~100之间,即满足条件(Ⅰ),综上可知,当P= 时,这种变换满足要求;……6分
(2)本题是开放性问题,答案不唯一。若所给出的关系式满足:(a)h≤20;(b)若x=20,100时,y的对应值m,n能落在60~100之间,则这样的关系式都符合要求。
如取h=20,y= ,……8分
∵a>0,∴当20≤x≤100时,y随着x的增大…10分
令x=20,y=60,得k=60 ①
令x=100,y=100,得a×802+k=100 ②
由①②解得 , ∴ 。………14分
2、(常州)已知 与 是反比例函数 图象上的两个点.
(1)求 的值;
(2)若点 ,则在反比例函数 图象上是否存在点 ,使得以 四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由 ,得 ,因此 . 2分
(2)如图1,作 轴, 为垂足,则 , , ,因此 .
由于点 与点 的横坐标相同,因此 轴,从而 .
当 为底时,由于过点 且平行于 的直线与双曲线只有一个公共点 ,
故不符题意. 3分
当 为底时,过点 作 的平行线,交双曲线于点 ,
过点 分别作 轴, 轴的平行线,交于点 .
由于 ,设 ,则 , ,
由点 ,得点 .
因此 ,
解之得 ( 舍去),因此点 .
此时 ,与 的长度不等,故四边形 是梯形. 5分
如图2,当 为底时,过点 作 的平行线,与双曲线在第一象限内的交点为 .
由于 ,因此 ,从而 .作 轴, 为垂足,
则 ,设 ,则 ,
由点 ,得点 ,
因此 .
解之得 ( 舍去),因此点 .
此时 ,与 的长度不相等,故四边形 是梯形. 7分
如图3,当过点 作 的平行线,与双曲线在第三象限内的交点为 时,
同理可得,点 ,四边形 是梯形. 9分
综上所述,函数 图象上存在点 ,使得以 四点为顶点的四边形为梯形,点 的坐标为: 或 或 . 10分
3、(福建龙岩)如图,抛物线 经过 的三个顶点,已知 轴,点 在 轴上,点 在 轴上,且 .
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出 三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点,是否存在 是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点 坐标;不存在,请说明理由.
解:(1)抛物线的对称轴 ………2分
(2) …………5分
把点 坐标代入 中,解得 ………6分
…………………………………………7分
(3)存在符合条件的点 共有3个.以下分三类情形探索.
设抛物线对称轴与 轴交于 ,与 交于 .
过点 作 轴于 ,易得 , , ,
① 以 为腰且顶角为角 的 有1个: .
8分
在 中,
9分
②以 为腰且顶角为角 的 有1个: .
在 中, 10分
11分
③以 为底,顶角为角 的 有1个,即 .
画 的垂直平分线交抛物线对称轴于 ,此时平分线必过等腰 的顶点 .
过点 作 垂直 轴,垂足为 ,显然 .
.
于是 13分
14分
注:第(3)小题中,只写出点 的坐标,无任何说明者不得分.
4、(福州)如图12,已知直线 与双曲线 交于 两点,且点 的横坐标为 .
(1)求 的值;
(2)若双曲线 上一点 的纵坐标为8,求 的面积;
(3)过原点 的另一条直线 交双曲线 于 两点( 点在第一象限),若由点 为顶点组成的四边形面积为 ,求点 的坐标.
解:(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 = 4时, = 2 .
∴ 点A的坐标为( 4,2 ).
∵ 点A是直线 与双曲线 (k>0)的交点 ,
∴ k = 4 ×2 = 8 .
(2) 解法一:如图12-1,
∵ 点C在双曲线 上,当 = 8时, = 1
∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) .
过点A、C分别做 轴、 轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON .
S矩形ONDM= 32 , S△ONC = 4 , S△CDA = 9, S△OAM = 4 .
S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .
解法二:如图12-2,
过点 C、A分别做 轴的垂线,垂足为E、F,
∵ 点C在双曲线 上,当 = 8时, = 1 .
∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ).
∵ 点C、A都在双曲线 上 ,
∴ S△COE = S△AOF = 4 。
∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .
∴ S△COA = S梯形CEFA .
∵ S梯形CEFA = ×(2+8)×3 = 15 ,
∴ S△COA = 15 .
(3)∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,
∴ OP=OQ,OA=OB .
∴ 四边形APBQ是平行四边形 .
∴ S△POA = S平行四边形APBQ = ×24 = 6 .
设点P的横坐标为 ( > 0且 ),
得P ( , ) .
过点P、A分别做 轴的垂线,垂足为E、F,
∵ 点P、A在双曲线上,∴S△POE = S△AOF = 4 .
若0< <4,如图12-3,
∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .
∴ .
解得 = 2, = - 8(舍去) .
∴ P(2,4).
若 > 4,如图12-4,
∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .
∴ ,
解得 = 8, = - 2 (舍去) .
∴ P(8,1).
∴ 点P的坐标是P(2,4)或P(8,1).
5、(甘肃陇南)如图,抛物线 交 轴于A、B两点,交 轴于点C,点P是它的顶点,点A的横坐标是 3,点B的横坐标是1.
(1)求 、 的值;
(2)求直线PC的解析式;
(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线
PC的位置关系,并说明理由.(参考数: , , )
解: (1)由已知条件可知: 抛物线 经过A(-3,0)、B(1,0)两点.
∴ ……………………………………2分
解得 . ………………………3分
(2) ∵ , ∴ P(-1,-2),C . …………………4分
设直线PC的解析式是 ,则 解得 .
∴ 直线PC的解析式是 . …………………………6分
说明:只要求对 ,不写最后一步,不扣分.
(3) 如图,过点A作AE⊥PC,垂足为E.
设直线PC与 轴交于点D,则点D的坐标为(3,0). ………………………7分
在Rt△OCD中,∵ OC= , ,
∴ . …………8分
∵ OA=3, ,∴AD=6. …………9分
∵ ∠COD=∠AED=90o,∠CDO公用,
∴ △COD∽△AED. ……………10分
∴ , 即 . ∴ . …………………11分
∵ ,
∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离. …………12分
6、(贵阳)如图14,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 的扇形.
(1)求这个扇形的面积(结果保留 ).(3分)
(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由.(4分)
(3)当 的半径 为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.(5分)
解:(1)连接 ,由勾股定理求得:
1分
2分
(2)连接 并延长,与弧 和 交于 ,
1分
弧 的长: 2分
圆锥的底面直径为: 3分
, 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥. 4分
(3)由勾股定理求得:
弧 的长: 1分
圆锥的底面直径为: 2分
且
3分
即无论半径 为何值, 4分
不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.
7、(河南)如图,对称轴为直线x= 的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)①当四边形OEAF的面积为24时,请判断OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
8、(湖北黄岗)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是 ,点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,设 秒后,直线PQ交OB于点D.
(1)求∠AOB的度数及线段OA的长;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)当 时,求t的值及此时直线PQ的解析式;
(4)当a为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与 相似?当a 为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与 不相似?请给出你的结论,并加以证明.
9、(湖北荆门)如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.
(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;
(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.
解:(1)由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合,则∠BPE=90°.∴∠OPE+∠APB=90°.又∠APB+∠ABP=90°,∴∠OPE=∠PBA.
∴Rt△POE∽Rt△BPA.…………………………………………………………2分
∴ .即 .∴y= (0<x<4).
且当x=2时,y有最大值 .…………………………………………………4分
(2)由已知,△PAB、△POE均为等腰三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(4,3).……6分
设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c,则 ∴
y= .…………………………………………………………8分
(3)由(2)知∠EPB=90°,即点Q与点B重合时满足条件.……………………9分
直线PB为y=x-1,与y轴交于点(0,-1).
将PB向上平移2个单位则过点E(0,1),
∴该直线为y=x+1.……………………………………………………………10分
由 得 ∴Q(5,6).
故该抛物线上存在两点Q(4,3)、(5,6)满足条件.……………………………12分
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