Question

已知函数f(x)是定义在[-1,1]上得函数，若对于任意x,y∈[-1,1]，都有f(x+y)=f(x)+f(y)且x>0时，有f(x)>0

（1）证明f(x)在[-1,1]上为单调递增函数
（2）解不等式f（x+1/2)<f[1/(x-1)]
(3)设f（1）=1，若f(x)<m^2-2am+1,对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

f(x+y)=f(x)+f(y)即f(x+y)-f(x)=f(y)＞0（当y＞0时）
所以f（x）是增函数

解出x+1/2＜1/(x-1)即可

m^2-2am+1＞f(1)=1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立
当a∈（0,1]，m＜0或者m＞2a
当a∈[-1，0），m＜2a或者m＞0

Answer 2

(1)令y大于0，则f(x+y)-f(x)=f(y)>0
由单调性定义,f(x)在[-1,1]上为单调递增函数
(2)即解x+1/2<1/(x-1),解得x<-1或x>3/2
(3)因f(x)<m^2-2am+1,对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立
则f(x)max<m^2-2am+1,a∈[-1,1]
即1<m^2-2am+1,a∈[-1,1]
也即m(m-2a)>0对a∈[-1,1]恒成立
而2a∈[-2,2]，m(m-2a)>0的解为两根m1=0,m2=2a之外
所以m的取值范围(-∞,-2)U(2,+∞)