Question

已知函数f(x)图像与函数h(x)=1/3x^3+x^2+2的图像关于A(0,1)对称

（1）求f(x)的解析式；
（2）若g(x)=f(x)+ax,且g(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围~

数学不太好，其实第一题就在纠结怎么求三次函数的对称，麻烦详细解答，谢谢了~

Answer 1

(1)设函数f(x)上任一点M(xo，yo)，其关于A(0，1)的对称点为N(x1，y1)，则N点在h(x)的图像上，所以
y1=(1/3)x1³+x1²+2 …………①
因为对称，所以线段MN的中点为A，由中点公式有
xo+x1=0，yo+y1=2
解得x1=-xo，y1=2-yo，代入①得2-yo=(1/3)(-xo)³+(-xo)²+2，化简得
yo=(1/3)xo³-xo²
所以f(x)=(1/3)x³-x²
(2) g(x)=f(x)+ax=(1/3)x³-x²+ax，对g(x)求导得
g’(x)=x²-2x+a
因为g(x)在(-∞，+∞)上是增函数，所以g’(x)恒大于等于0，所以其判别式恒小于等于0，即
△=4-4a≤0
解得a≥1。

Answer 2

解：(1)由题意f(x)与h(x)关于（1，0）对称，有
f(x)=-h(-x+2)
-x+2由与x=1对称得；
-h(x)由于y=0对称得；
代入得f(x)=-(1/3(-x+2)^3+(-x+2)^2+2);
（2）g(x)=f(x)+ax=(1/3)x³-x²+ax在R上是增函数
--->g'(x)=3x²-2x+a≥0恒成立
--->Δ=4-12a＜0
--->a＞1/3

追问

= =还是要问一下
为什么说
f(x)=-h(-x+2)
啊？

啊啊啊啊啊啊····突然看着看着就懂了~