Question

若x>0,y>0,且根号x+根号y≤a*根号（x+y）恒成立，求a的最小值

Answer 1

√x+√y<=a√(x+y)
(√x+√y)/√(x+y)<=a
上式恒成立，所以a只要大于等于左边式子的最大值就可以了
记s=(√x+√y)/√(x+y)
s^2=(x+y+2√(xy))/(x+y)=1+2√(xy)/(x+y)<=1+(x+y)/(x+y)=2 （里面用到了均值不等式）
s<=√2
所以a最小取√2

Answer 2

解：
【1】
∵x,y＞0,
∴由均值不等式可得：x+y≥2√(xy).等号仅当x=y时取得。
∴两边同加x+y,可得：
2(x+y)≥(√x+√y)²
∴两边开平方，√[2(x+y)]≥√x+√y.
该不等式两边同除以√(x+y),可得：
(√x+√y)/√(x+y)≤√2
∴对任意实数x,y＞0,恒有：
（√x+√y)/√(x+y)≤√2.等号仅当x=y时取得。
【2】
由题设可知，对任意实数x,y＞0,恒有：
√x+√y≤a√(x+y).
∴恒有(√x+√y)/√(x+y)≤a.
结合上面的结论，可知：a≥√2.
∴(a)min=√2.