Question

四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，SB⊥底面ABCD,SB=AB,Q为SD中点，M为AB中点，证明平面SDM⊥平面SCD

2.求二面角S-DM-C的大小

Answer 1

可用空间直角坐标系做这道题。
因为底面ABCD为正方形（BA⊥BC），SB⊥底面ABCD
所以可以 以BA所在直线为X轴，以BC所在直线为Y轴，以SB所在直线为Z轴建立空间直角坐标系。
设正方形边长为2a,
所以M点坐标为（a,0,0) ，S点为（0,0,2a）， D点为（2a,2a,0) , C点为（0,2a，0）
设平面SDM的法向量坐标为（x,y,z）
所以根据法向量垂直于平面内任意一条直线可得 ：
法向量⊥SM，法向量⊥DM，
所以ax-2az=0，-ax-2ay=0,
平面SDM法向量坐标可写为（2x,-x,x）
设平面SCD法向量坐标为（x1,y1,z1）
同理可得平面SCD法向量坐标为（0，y1,y1）
又因为平面SCD法向量与平面SDM法向量的数量积为0（-xy1+xy1=0），
所以两法向量垂直，
所以这两个平面垂直。