Question

设函数f(x)=x(x-1)(x-a)，(a>1)，求导数f′（x）

设函数f(x)=x(x-1)(x-a)，(a>1)，求导数f′（x），并证明f（x）有两个不同极值点x1，x2；若不等式f（x1）+f（x2)≤0，求a的取值范围

Answer 1

1）f′（x）=3x^2-2(a+1)x+a
△=4(a+1)^2-12a=4(a^2-a+1)>0
f′（x）=0有两个根
f（x）有两个不同极值点x1，x2
2）f′（x）=3x^2-2(a+1)x+a=0
用判别式求出x1，x2
代入f（x)计算不等式即可

Answer 2

f(x)=x^3-(a+1)x^2+ax,
f'(x)=3x^2-2(a+1)x+a
f''(x)=6x-2(a+1);
从f'(x)=0,求得驻点x=0,x=1,x=a;后面的就证明f'(x),f''(x)与0的大小关系,确定哪两个才是极值点;
最后解不等式。

Answer 3

解：f′（x）=(2x-1)(x-a)+x(x-1)=3x^2-（2a+2）x+a
当f′（x）=0时，［-(2a+2)］^2-12a=4a(a-1)+4＞4
故f′（x）=0有两个不相等的实数根，所以f（x）有两个不同极值点x1，x2。