Question

高数的高阶微分方程。y^3 * y'' - 1 = 0 如何求解，要有详细的步骤。

Answer 1

令 y'=p,,则y"=p*dp/dy
原方程化为：p*dp/dy=1/y^3
解得：p^2=C1-1/y^2
p=(C1-1/y^2)^(1/2)
即：y'=(C1-1/y^2)^(1/2)
解得：（x-C2）^-y^2/C1+1/C2^2=0

追问

y'=(C1-1/y^2)^(1/2) 这一步该如何化解呢，就是算到这一步不会算了。
(C1-1/y^2)^(1/2)的根号下如何化简成其他方式呢？需要设参数吧？怎么算呢。
谢谢了。

追答

y'=(C1y2-1)^(1/2)/y
yy'/(C1y2-1)^(1/2)=1
ydy/(C1y2-1)^(1/2)=dx

追问

不是那个意思啊。
我是说化简到：dy/(C1 - 1 / y^2 )^(1 / 2) = dx之后
如何积分： dy/(C1 - 1 / y^2 )^(1 / 2) 呢？
有公式可以用吗？
写一下积分这个的步骤吧。
谢谢了

追答

dy/(C1 - 1 / y^2 )^(1 / 2)
化为：ydy/(C1y^2-1)^(1/2)=dx
继续化为：(1/2C1)*d(C1y^2-1)/(C1y^2-1)^(1/2)=dx
积分：(1/C1)*(C1y^2-1)^(1/2)=x+C2
整理得：（x+C2）^-y^2/C1+1/C1^2=0