Question

已知向量a=（cos3x/2，sin3x/2），b=（cosx/2，—sinx/2），其中x∈[π/12，π/6]

（1）求证：（a+b）⊥（a-b）
（2）设函数f（x）=a*b+▏b▏^2,求f（x）的最大值和最小值.
谢谢，答对另加分！

Answer 1

a=（cos3x/2，sin3x/2），b=（cosx/2，—sinx/2）
(1) a+b=(cos3x/2+cosx/2, sin3x/2-sinx/2)
a-b=(cos3x/2-cosx/2, sin3x/2+sinx/2)
(a+b)*(a-b)=(cos3x/2+cosx/2)(cos3x/2-cosx/2)+(sin3x/2-sinx/2)(sin3x/2+sinx/2)
=(cos3x/2)^2-(cosx/2)^2+(sin3x/2)^2-(sinx/2)^2
=1-1=0
所以：（a+b）⊥（a-b）
(2) f(x)=cos3x/2*cosx/2-sin3x/2sinx/2+(cosx/2)^2+(sinx/2)^2
=cos2x+1
已知x∈[π/12，π/6] 2x∈[π/6，π/3]
所以，最大值为f(π/12)=cos(π/6)+1=√3/2+1
最小值为f(π/6)=cos(π/3)+1=1/2+1=3/2

Answer 2

解：(1) a+b=(cos3x/2+cosx/2，sin3x/2-sinx/2)
a-b=(cos3x/2-cosx/2，sin3x/2+sinx/2)
(a+b)*(a+b)=(cos3x/2)^2-(cosx/2)^2+(sin3x/2)^2-(sinx/2)^2
=(cos3x/2)^2+(sin3x/2)^2-[(cosx/2)^2+(sinx/2)^2]=1-1=0
所以，（a+b）⊥（a-b）.
(2) a*b=(cos3x/2)*(cosx/2)-(sin3x/2)*(sinx/2)=cos(3x/2+x/2)=cos2x
lbl^2=（cosx/2)^2+(sinx/2)^2=1
所以，f(x)=cos2x+1
因为x∈[π/12，π/6]，所以，2x∈[π/6，π/3]，所以，cos2x∈[1/2，1]，
所以，（cos2x+1）∈[3/2，2]
因此，f(x)的最大值是2，最小值是3/2.

Answer 3

（1）
(a+b)*(a-b)=a^2-b^2=1-1=0.
（2）a*b+▏b▏^2=cos2x+1
在x∈[π/12，π/6]递减，当x=π/12最大为(3^0.5)/2+1