在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c且acosC、bcosB、ccosA成等差数列 若a+c=4,求AC边上中线长的最小值
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作AC边上的高BH
那么acosC=a*CH/a=CH
同理，ccosB=c*AH/c=AH
因为acosC,bcosB,ccosA成等差数列，所以bcosB=1/2*(acosC+ccosA)=1/2*b
所以cosB=1/2，B=60°（因为0°<B<180°）
再作AC边上的中线BD=x，并延长BD到点B'使B'D=BD，连接AB'
容易证出在△ABB'中，AB'=CB=a，∠BAB'=120°
且(2x)^2=a^2+c^2-2ac*cosA=a^2+c^2+ac=(a+c)^2-ac=16-ac，
当a=c=2时，ac最大，16-ac取到最小值12，即4x^2=12，x=根号3
那么acosC=a*CH/a=CH
同理，ccosB=c*AH/c=AH
因为acosC,bcosB,ccosA成等差数列，所以bcosB=1/2*(acosC+ccosA)=1/2*b
所以cosB=1/2，B=60°（因为0°<B<180°）
再作AC边上的中线BD=x，并延长BD到点B'使B'D=BD，连接AB'
容易证出在△ABB'中，AB'=CB=a，∠BAB'=120°
且(2x)^2=a^2+c^2-2ac*cosA=a^2+c^2+ac=(a+c)^2-ac=16-ac，
当a=c=2时，ac最大，16-ac取到最小值12，即4x^2=12，x=根号3
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