Question

一道高一数学题，求详细过程

设函数f(x)=1\3x^3-(1-a)x^2+4ax+24a,其中常数a>1 (1)讨论f(x)的单调性 （2）若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=x^2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)
a>1,2a>2
所以x<2,x>2a,f'(x)>0,增函数
2<x<2a,f'(x)<0,减函数
所以x=2是极大值，x=2a是极小值

所以最小值在极小值点或边界取到
所以x=0和x=2a时，只要f(x)>0即可
f(0)=24a>=0,a>0
f(2a)=(-4/3)a^3+4a^2+24a>0
a^3-3a^2-18a<0
a(a-6)(a+3)<0
a<-3,0<a<6

综上
1<a<6

追问

你看错题了吧？f(x)=1\3x^3-(1-a)x^2+4ax+24a

Answer 2

f'(x)=x^2-2(1-a)x+4a就是关于二次函数问题 对称轴是x=1-a 小于0 开口向上 其中常数a>1 所以f'(x)恒大于0 所以单调递增
若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围
可以转化成1\3x^3≥(1-a)x^2-4ax-24a
再求出当1\3x^3的最小值大于等于(1-a)x^2-4ax-24a的最大值时a的值就行了

Answer 3

f'(x)=x^2-2(1-a)x+4a x=1-a 0 a>1 f'(x)0 x≥0，f(x)>0，可以转化成1\3x^3≥(1-a)x^2-4ax-24a
1\3x^3(1-a)x^2-4ax-24a的